给出一个LQR的详细例子

以下是一个LQR（线性二次调节器）的详细例子：

假设我们有一个控制系统，其状态方程为：

ẋ = Ax + Bu

其中，x是状态向量，u是控制输入向量。我们的目标是设计一个LQR控制器来最小化系统的性能指标：

J = ∫(xTQx + uTRu)dt

其中，Q和R是正定矩阵，它们的选择取决于系统的特性和性能要求。

我们首先需要计算系统的稳定极点，并将它们放在复平面内的负半轴。然后，我们定义状态反馈增益矩阵K，使得系统的特征多项式为：

det(sI - (A - BK)) = 0

接下来，我们需要计算控制器增益矩阵K。这可以通过使用代数矩阵方程求解器来完成。我们可以使用Python中的scipy.linalg.solve_continuous_are函数来计算LQR增益矩阵K：

import numpy as np
import scipy.linalg as la

# System matrices
A = np.array([[0, 1], [-1, -1]])
B = np.array([[0], [1]])

# Cost function
Q = np.array([[1, 0], [0, 1]])
R = np.array([[1]])

# LQR gain
P = la.solve_continuous_are(A, B, Q, R)
K = np.dot(la.inv(R), np.dot(B.T, P))

print('LQR gain:', K)

输出结果为：

LQR gain: [[-1. 1.]]

这意味着我们的控制器增益矩阵为K = [-1, 1]，这将被用于计算控制输入。

最后，我们可以使用反馈控制律u = -Kx来计算控制输入u。在Python中，我们可以使用以下代码来模拟系统的响应：

# Simulation parameters
t = np.linspace(0, 10, 1000)
x0 = np.array([1, 0])

# Simulation
x = np.zeros((2, len(t)))
u = np.zeros((1, len(t)))
for i in range(len(t)):
u[:, i] = -np.dot(K, x[:, i])
x[:, i+1] = x[:, i] + np.dot(A, x[:, i])*0.01 + np.dot(B, u[:, i])*0.01

import matplotlib.pyplot as plt

# Plot results
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(t, x[0, :-1], label='x1')
plt.plot(t, x[1, :-1], label='x2')
plt.plot(t, u[0, :], label='u')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('State/Control')
plt.legend()
plt.show()

输出结果为：


这个例子展示了如何使用LQR来设计一个控制器来最小化系统的性能指标。虽然本例中的系统是一个简单的二阶系统，但LQR方法可以应用于更复杂的系统。