证明2^(1/2)+3^(1/3)在有理数域上的极小多项式
时间: 2023-11-18 20:05:25 浏览: 35
设 $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$,则 $x-\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}$,两边立方得到 $x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-11=0$。
再将 $x-\sqrt[3]{3}$ 代入上式得到 $(x-\sqrt[3]{3})^2-2=0$,即 $x^2-2\sqrt{2}x-3=0$。
因此,$x$ 是方程组 $x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-11=0$ 和 $x^2-2\sqrt{2}x-3=0$ 的公共解,这两个方程的最小公共多项式就是 $x^6-10x^4+36x^2-108x+61$。
所以,$2^{1/2}+3^{1/3}$ 在有理数域上的极小多项式为 $x^6-10x^4+36x^2-108x+61$。
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证明2^(1/2)+3^(1/2)在有理数域上的极小多项式
设 $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$,则 $x-\sqrt{2}=\sqrt{3}$,两边平方得 $x^2-2\sqrt{2}x+2=3$,即 $x^2-2\sqrt{2}x-1=0$。
再将 $x-\sqrt{3}$ 代入 $x^2-2\sqrt{2}x-1=0$ 中,得到 $(x-\sqrt{3})^2-2=0$,即 $x^2-2\sqrt{3}x-2=0$。
因此,$x$ 是方程组 $x^2-2\sqrt{2}x-1=0$ 和 $x^2-2\sqrt{3}x-2=0$ 的公共解,这两个方程的最小公共多项式就是 $(x^2-2\sqrt{2}x-1)^2-2(x^2-2\sqrt{3}x-2)=0$,即 $x^4-10x^2+1=0$。
所以,$2^{1/2}+3^{1/2}$ 在有理数域上的极小多项式为 $x^4-10x^2+1$。
抽象代数:验证x^5+x^4+x^3+x+1不可约
首先,我们需要知道一个定理:如果一个多项式在有理数域上不可约,那么它在有限域上也不可约。
因此,我们可以尝试在有限域上验证该多项式是否不可约。由于该多项式的次数为5,我们可以选择在GF(2)上验证。
首先,将该多项式转化为GF(2)上的二进制形式:
x^5 + x^4 + x^3 + x + 1 = 1 0 1 1 1
接下来,我们可以枚举该多项式的因子。由于该多项式是一个5次多项式,因此它的因子必须是1次或2次的多项式。
1次多项式可以表示为x+a的形式,其中a为GF(2)上的元素。因此,我们只需要枚举a的取值即可:
x+0 = 1 0 1 1 1
x+1 = 1 1 0 0 0
发现不存在1次因子。
2次多项式可以表示为(x^2+ax+b)的形式,其中a、b为GF(2)上的元素。同样地,我们枚举a、b的取值即可:
x^2+x+0 = 1 0 1 1 1
x^2+x+1 = 1 1 0 1 0
x^2+1+x = 1 1 1 0 1
x^2+1+1 = 1 0 0 1 1
x^2+x+1+x = 1 1 1 1 1
发现不存在2次因子。
因此,该多项式在GF(2)上不可约,根据之前提到的定理,我们可以得出结论:该多项式在有理数域上也不可约。