猴子爬山的递推公式和边界条件

猴子爬山是一个经典的动态规划问题，其递推公式和边界条件如下：

假设第 i 分钟猴子在第 j 米高度上，则：

1. 如果猴子在第 i 分钟没有爬上山，也没有滑下山，则猴子当前的高度为 j 米。此时，猴子可以从上一分钟的高度为 j-1 米或者 j+1 米的位置上爬上来，即：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j+1]

2. 如果猴子在第 i 分钟已经爬上山，则猴子当前的高度为 k 米 (k >= h)，其中 h 表示山顶的高度。此时，猴子只能从上一分钟的高度为 k-1 米的位置上爬上来，即：

dp[i][k] = dp[i-1][k-1]

3. 如果猴子在第 i 分钟已经滑下山，则猴子当前的高度为 0 米。此时，猴子只能从上一分钟的高度为 1 米的位置上滑下来，即：

dp[i][0] = dp[i-1][1]

边界条件为：

1. 如果猴子在第 0 分钟已经到达山顶，则 dp[0][h] = 1，其余位置的值均为 0。

2. 如果猴子在第 0 分钟没有到达山顶，则 dp[0][j] = 0，其中 0 <= j <= h。

相关问题

猴子吃桃问题递推法c++

猴子吃桃问题是经典的动态规划问题，通常用来演示递归算法如何转化为迭代过程。假设有一棵有n个桃子的树，一只猴子第一天吃了1个，以后每天它都会比前一天多吃一个，问这只猴子吃完所有桃子需要多少天？

递推法的C++解题思路通常是定义一个数组dp，其中dp[i]表示吃到第i个桃子所需的最小天数。递推公式可以这样表达：

- dp[0] = 0，因为第一天就吃了0个桃；
- 对于其他i (1到n)，如果能吃到第i个桃，则前一天一定吃到的是i-1个，所以dp[i] = dp[i-1] + 1。

以下是对应的C++代码实现：

#include <vector>

int minDays(int n) {
    std::vector<int> dp(n+1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (i >= 2) {
            dp[i] = dp[i-1] + 1;
        }
        // 找出前缀和等于i的最大值，即最短天数
        while (dp[i] > 0 && i - dp[i] >= 2) {
            dp[i] = dp[i - dp[i]];
        }
    }
    return dp[n];
}

在这个代码中，循环内有一个查找操作，用于找到从第i个桃开始到最后一颗桃，每天最多吃掉一个的情况下所需要的最少天数。

猴子吃桃问题递推算法c语言

猴子吃桃问题是经典的动态规划问题，通常通过递推算法求解。假设有一棵结满桃子的树，猴子第一天吃掉所有桃的一半，如果还有剩余的话，则再吃一个；第二天猴子的行为类似第一天，同样吃掉剩下的一半，再多一个。问题就是问最少需要多少天猴子才能吃完所有的桃。

在 C 语言中，可以使用数组或者递归来实现这个递推过程。以下是简单的递归解决方案：

#include <stdio.h>

int minDays(int n) {
    if (n <= 1)
        return n;
    else
        return 1 + minDays(n - (n / 2) - 1);
}

int main() {
    int numTao = 7; // 总的桃子数，这里替换成实际数值
    int days = minDays(numTao);
    printf("最少需要 %d 天猴子吃完所有的桃。\n", days);
    return 0;
}

在这个代码中，`minDays` 函数实现了递归逻辑，它接受剩余的桃子数作为输入，判断是否达到结束条件（即桃子少于等于1），然后返回当前天数加上下一天需要的天数。递归会一直持续到桃子数量小于等于1为止。