x趋于正无穷复合函数求极限的证明
时间: 2023-09-18 19:04:20 浏览: 94
设函数f(x)是定义在区间I上的函数,其中I是一个实数区间,且对于任意x∈I,有f(x)的值域属于区间J。设g(x)是定义在区间J上的一个函数,且对于任意y∈J,有g(y)的值域属于区间K。我们要证明当x趋于正无穷时,复合函数g(f(x))的极限存在。
首先,我们要证明当x趋于正无穷时,f(x)的极限存在。根据f(x)的定义,我们可以选取一个M,使得当x>M时,f(x)的值域均在区间J中。由此可得,当x趋于正无穷时,f(x)的极限存在,设为L。
接下来,我们要证明当y趋于L时,g(y)的极限存在。根据g(y)的定义,我们可以选取一个N,使得当y>N时,g(y)的值域均在区间K中。由于f(x)的极限为L,当x>M时,f(x)取到的值大于N。因此,当x>M时,g(f(x))的值域均在区间K中。由此可得,当y趋于L时,g(y)的极限存在。
综上所述,根据复合函数的极限性质,当x趋于正无穷时,复合函数g(f(x))的极限存在,且为g(f(x)) = g(L)。
相关问题
给我出一个x趋于5的函数极限
一个x趋于5的函数极限的例子是:
lim(x->5) [(x^2 - 25)/(x - 5)] = 10
这个极限的求解过程如下:
将分子因式分解:x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
将分式化简为:lim(x->5) [(x + 5)(x - 5)/(x - 5)] = lim(x->5) (x + 5) = 10
因此,当x趋于5时,上述函数的极限为10。
x*sin1/x当x趋于无穷的极限
我们可以使用夹逼定理来求解这个极限。
首先,我们注意到当x趋于无穷时,1/x趋于0。因此,我们可以将原式改写为:
lim x→∞ x*sin(1/x) / (1/x)
然后,我们可以将分子和分母同时除以x,得到:
lim x→∞ sin(1/x) / (1/x) * x
现在,我们注意到 sin(1/x) / (1/x) 是一个常数,它的值为1。因此,我们可以将它替换回去,得到:
lim x→∞ 1 * x
这个极限显然趋于无穷大。因此,原式的极限为正无穷。