在x趋于a时，f（x）的导函数的左右极限存在 能否证明在x趋于a时，f（x）的左右极限存在

这个结论是正确的，它可以通过导数的定义和极限的性质来证明。

首先，假设f(x)在x=a处可导，即导数f'(a)存在。根据导数的定义，f'(a)可以表示为：

f'(a) = lim_(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)

由于左右极限都存在，我们可以分别考虑x在a左侧和右侧的情况。假设x在a左侧时，我们有：

f'(a) = lim_(x→a-) [f(x) - f(a)] / (x - a)

由于这是一个左极限，因此我们可以假设x的取值是小于a的，也就是说x = a - δ，其中δ是一个正数。这样，我们就可以将上式改写为：

f'(a) = lim_(δ→0+) [f(a-δ) - f(a)] / (-δ)

同样地，如果x在a右侧，我们有：

f'(a) = lim_(x→a+) [f(x) - f(a)] / (x - a)

假设x的取值是大于a的，也就是说x = a + ε，其中ε是一个正数。这样，上式可以改写为：

f'(a) = lim_(ε→0+) [f(a+ε) - f(a)] / ε

由于左右极限都存在，我们可以得出以下结论：

lim_(δ→0+) [f(a-δ) - f(a)] / (-δ) = lim_(ε→0+) [f(a+ε) - f(a)] / ε

因此，我们可以将上式改写为：

lim_(δ→0+) [f(a-δ) - f(a)] / δ = lim_(ε→0+) [f(a+ε) - f(a)] / ε

这个式子表明，在x趋于a时，左侧和右侧的极限都存在，并且它们相等。因此，我们可以得出结论，在x趋于a时，f(x)的左右极限都存在。