若x趋于零 lim (f(x)/x）存在，则f(0）＝0。函数f(x)＝x²+1在x＝0连续，但此时f(0)＝1，为什么

### 回答1：
根据题意，若存在 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$，则有 $\lim_{x\to 0}f(x)=0$，但并不一定有 $f(0)=0$。

对于函数 $f(x)=x^2$，在 $x=0$ 处连续，且有 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0$，因此 $\lim_{x\to 0}f(x)=0$。但是，$f(0)=0^2=0$，而不是 $1$。

因此，题目中的结论并不成立。

### 回答2：
首先，我们要理解极限的定义。当我们说lim (f(x)/x)存在时，意味着当x趋于0时，f(x)/x的值存在一个有限的数L。

现在来考虑函数f(x) = x² 1。在x = 0的附近，这个函数的图像是一个开口向上的抛物线，且在x = 0处取得一个洞。

我们计算lim (f(x)/x)。由于f(x) = x² 1，我们可以将f(x)/x的式子改写为：(x² 1)/x = x - 1/x。当x趋于0时，前一项x趋于0，后一项1/x趋于无穷大（因为1/x的值会趋于正无穷或负无穷，取决于x的正负号）。因此，整个式子(x - 1/x)的极限不存在，也就是lim (f(x)/x)不存在。

由此可见，我们不能应用题目中所提到的条件“若x趋于零lim (f(x)/x）存在”来解释为什么f(0)的值不是0。因为在这个函数中，lim (f(x)/x)不存在，根据这个条件我们无法得出f(0)的值。

实际上，在这个函数中，f(0) = 1。这是因为在x = 0处，f(x) 的定义是 "x² 1"，所以f(0) = 0² 1 = 1。虽然我们在x = 0时定义了一个洞，但这并不影响f(0)的值。

综上所述，对于函数f(x) = x² 1，在x = 0处f(x)/x的极限不存在，所以我们不能利用这个条件来推导f(0)的值。而根据函数f(x)的定义，f(0) = 1。

### 回答3：
根据题目所给的函数f(x) = x²，我们可以先求f(x)/x的极限。

lim (f(x)/x) = lim (x²/x) = lim x

当x趋于零时，f(x)/x的极限等于x的极限。这个极限存在，即f(x)/x在x趋于零时的极限存在。由极限的定义可知，在x=0处的函数f(x)的极限为：

lim f(x) = lim (f(x)/x) * lim x
= lim (f(x)/x) * 0
= 0

因此，根据极限的性质，若f(x)/x在x趋于零时的极限存在，则f(0) = 0。

但是，函数f(x) = x²在x=0的定义域内是连续的。连续的定义是函数在该点的极限等于函数在该点的函数值。因此，在x=0处，f(x)的极限和f(0)的函数值应该相等。

由于极限lim f(x) = 0，而f(0) = 1，两者不相等，所以函数f(x) = x²在x=0处不满足连续的条件。

所以，虽然f(x)/x在x趋于零时的极限存在，但是函数f(x)在x=0处不满足f(0) = 0的条件。