如何用C语言编写一个递归函数来计算特定阶数n的勒让德(Legendre)多项式的数值?

在C语言中，我们可以使用递归来计算特定阶数n的勒让德多项式。勒让德多项式P_n(x)，也称为Legendre Polynomials，是一个重要的数学序列，在物理、工程和其他科学领域有广泛应用。其通项公式可以表示为：

\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (2x)^{n-k} \]

下面是一个简单的C语言函数，用于计算给定阶数n和变量x的勒让德多项式的值：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 计算组合系数 C(n, k)
int binomial_coeff(int n, int k) {
    if (k > n || k < 0) return 0;
    int result = 1;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        result *= n - i + 1;
        result /= i;
    }
    return result;
}

// 递归计算勒让德多项式
double legendre_poly(int n, double x) {
    if (n == 0) return 1.0; // 基本情况：P_0(x) = 1
    else if (n % 2 == 0) { // 如果n是偶数
        return ((2 * x) * legendre_poly(n - 2, x)) / (2 * n);
    } else { // 如果n是奇数
        return ((2 * x) * legendre_poly(n - 1, x)) / n - legendre_poly(n - 2, x);
    }
}

int main() {
    int n;
    double x;
    
    printf("请输入勒让德多项式的阶数n: ");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入x的值: ");
    scanf("%lf", &x);

    if (n >= 0) {
        double result = legendre_poly(n, x);
        printf("P_%d(x) = %.8f\n", n, result);
    } else {
        printf("阶数n必须是非负整数。\n");
    }

    return 0;
}