对1/2+sin^2x积分

对于 $\frac{1}{2}+\sin^2x$ 的积分，可以使用三角恒等式将其转化为 $\frac{1}{2}+\frac{1-\cos(2x)}{2}$，即 $\cos^2(x)$ 的一半。因此，积分为：

$$\int \left(\frac{1}{2}+\sin^2x\right)dx = \int \left(\frac{1}{2}+\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)dx = \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin(2x)+C$$

其中 $C$ 为积分常数。

相关问题

计算x/(1+x^2+x^4)^1/2的定积分

我们可以通过替换三角函数的方式来解决这个积分。通过令x^2 = tanθ，我们可以得到:

x/(1 x^2 x^4)^1/2 = sinθ/cosθ^2

然后我们将x的范围全部换成θ的范围。当x=0时，θ=0。当x→∞时，θ→π/2。

接下来，我们使用壳积分来计算积分。根据壳积分的原理，我们有:

∫(0 to ∞) x/(1 x^2 x^4)^1/2 dx = ∫(0 to π/2) sinθ/cosθ^2 dθ

对于这个积分，我们可以使用代换u = cosθ，du = -sinθ dθ 来化简。代换后得到:

∫(0 to π/2) sinθ/cosθ^2 dθ = ∫(1 to 0) du/u^2 = 1

因此，x/(1 x^2 x^4)^1/2的定积分为1。

1/(sinx ^3+cox ^3)的积分

这个积分可以通过换元来求解。我们可以先对分母进行因式分解，得到：

sin^3(x) + cos^3(x) = (sin(x) + cos(x))(sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x))

由于sin^2(x) + cos^2(x) = 1，因此：

sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 1 - sin(x)cos(x)

将上面的式子代入原式，得到：

∫1/(sin^3(x) + cos^3(x)) dx = ∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx

我们可以将sin(x) + cos(x)表示成根号2的形式，即：

sin(x) + cos(x) = √2(sin(x + π/4))

令t = sin(x + π/4)，则：

dt/dx = cos(x + π/4) = (cos(x) - sin(x))/√2

那么，原式可以变为：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = √2∫1/[t(1 - t^2)] dt

对右侧的积分进行求解，可以使用部分分式分解法，得到：

∫1/[t(1 - t^2)] dt = 1/2 ∫[1/(t-1) - 1/t - 1/(t+1)] dt

对上式右侧三个部分的积分，可以通过求对数积分来解决，得到：

∫1/(t-1) dt = ln|t-1| + C1

∫1/t dt = ln|t| + C2

∫1/(t+1) dt = ln|t+1| + C3

将t代回，得到：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = 1/2 √2 [ln|tan(x/2 + π/4)| - ln|tan(x/2)| - ln|tan(x/2 - π/4)|] + C'

其中C'为常数。这就是原式的解。