∫（cos^5x/sin^5x）dx

可以使用三角代换解决该积分。令t=sin(x)，则dt/dx=cos(x)，cos(x)=sqrt(1-sin^2(x))=sqrt(1-t^2)。将cos(x)和dx用t表示，有：

∫（cos^5x/sin^5x）dx = ∫(cos^4x/sin^4x)cos(x)dx
令t=sin(x)，则有：
∫(cos^4x/sin^4x)cos(x)dx = ∫(1-t^2)^2/t^4 dt
展开，得到：
∫(1-t^2)^2/t^4 dt = ∫(1 - 2t^2 + t^4 )/t^4 dt
将分式拆分，得到：
∫(1 - 2t^2 + t^4 )/t^4 dt = ∫(1/t^4 - 2/t^2 + 1) dt
对每一项进行积分，得到：
∫(1/t^4 - 2/t^2 + 1) dt = -1/t^3 + 2/t + C
将t=sin(x)代入，得到最终结果：
∫（cos^5x/sin^5x）dx = -cos^(-3)(x)/sin(x) + 2sin(x) + C

相关问题

cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分

这道题可以通过变形和分部积分来求解。

首先，我们可以将 cos^2x 分解为 1-sin^2x，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

接下来，我们进行变量代换，令 u = sinx + cosx，那么有：

du/dx = cosx - sinx

dx = du/(cosx-sinx)

将 x 表示为 u 的函数，得到：

x = arctan((u-1)/sqrt(2)) + π/4

将 dx 代入原式中，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

= ∫(1-u^2+2u-1)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= ∫(2u - u^2)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= 2√2∫(1-u)/(u^2-2u+2)du

接下来，我们进行分部积分，令 u^2-2u+2 = t，那么有：

du = (t-2)dt/(2u-2)

将 du 代入原式中，得到：

∫(1-u)/(u^2-2u+2)du = ∫(t-4)/(4(t-1))dt

= 1/4∫(t-1-3)/(t-1)dt

= 1/4∫(1+3/(t-1))dt

= 1/4(t+3ln|t-1|) + C

将 t 代回原式，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C

综上所述，cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分为 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C。

∫1/(x+(1-x^2)^(1/2))dx的不定积分，并写出步骤

我们可以进行变量代换，令u = 1 − x^2，那么du/dx = -2x，即dx = -du/(2x)。将其带入原式得到：

∫1/(x (1-x^2)^(1/2))dx = -1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2))

接下来，我们可以使用欧拉第一积分的形式，即：

∫dx/(x^a (1-x)^b) = B(x^(1-a), 1-b+a) + C(1-x)^(1-b), 其中B为欧拉第二型不完全贝塔函数，C为常数

将其带入原式得到：

-1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2)) = -1/2B(u^(1/2), 1/2) + C(1-u)^(1/2)

由于B函数不好求解，我们可以使用三角代换法，令u = sin^2θ，那么du = 2sinθcosθdθ，将其带入得到：

-1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2)) = -∫dθ/sinθ = -ln|cscθ - cotθ| + C

将u = sin^2θ带回得到：

-1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2)) = -ln|csc(arcsin(√u)) - cot(arcsin(√u))| + C

即最终结果为：

∫1/(x (1-x^2)^(1/2))dx = -ln|csc(arcsin(√(1-x^2))) - cot(arcsin(√(1-x^2)))|/2 + C