∫(cos^5x/sin^5x)dx
时间: 2023-11-13 08:38:45 浏览: 46
可以使用三角代换解决该积分。令t=sin(x),则dt/dx=cos(x),cos(x)=sqrt(1-sin^2(x))=sqrt(1-t^2)。将cos(x)和dx用t表示,有:
∫(cos^5x/sin^5x)dx = ∫(cos^4x/sin^4x)cos(x)dx
令t=sin(x),则有:
∫(cos^4x/sin^4x)cos(x)dx = ∫(1-t^2)^2/t^4 dt
展开,得到:
∫(1-t^2)^2/t^4 dt = ∫(1 - 2t^2 + t^4 )/t^4 dt
将分式拆分,得到:
∫(1 - 2t^2 + t^4 )/t^4 dt = ∫(1/t^4 - 2/t^2 + 1) dt
对每一项进行积分,得到:
∫(1/t^4 - 2/t^2 + 1) dt = -1/t^3 + 2/t + C
将t=sin(x)代入,得到最终结果:
∫(cos^5x/sin^5x)dx = -cos^(-3)(x)/sin(x) + 2sin(x) + C
相关问题
cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分
这道题可以通过变形和分部积分来求解。
首先,我们可以将 cos^2x 分解为 1-sin^2x,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx
接下来,我们进行变量代换,令 u = sinx + cosx,那么有:
du/dx = cosx - sinx
dx = du/(cosx-sinx)
将 x 表示为 u 的函数,得到:
x = arctan((u-1)/sqrt(2)) + π/4
将 dx 代入原式中,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx
= ∫(1-u^2+2u-1)/(u*√2)du/(cosx-sinx)
= ∫(2u - u^2)/(u*√2)du/(cosx-sinx)
= 2√2∫(1-u)/(u^2-2u+2)du
接下来,我们进行分部积分,令 u^2-2u+2 = t,那么有:
du = (t-2)dt/(2u-2)
将 du 代入原式中,得到:
∫(1-u)/(u^2-2u+2)du = ∫(t-4)/(4(t-1))dt
= 1/4∫(t-1-3)/(t-1)dt
= 1/4∫(1+3/(t-1))dt
= 1/4(t+3ln|t-1|) + C
将 t 代回原式,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C
综上所述,cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分为 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C。
matlab I(0 x)= ∫ sin^5xsin5xdx
抱歉,我之前的回答有误。正确的解法如下:
我们可以使用三角恒等式将sin^5x拆分为sin^4x和sinx,然后再使用积分换元法。
令u = sinx,则du = cosxdx
将u代入原式,得到:
I(0 x)= ∫ sin^5xsin5xdx
= ∫ sin^4xsinxsin5xdx
= ∫ (1 - cos^2x)^2sinxsin5xdx
= ∫ (1 - u^2)^2du * (1/4) * ∫ sin(5x)dx (使用三角恒等式sin^2x = 1 - cos^2x)
= (1/4) ∫ (1 - u^2)^2du ∫ sin(5x)dx
= (1/4) ∫ (1 - u^2)^2du (-1/5)cos(5x) + C (使用积分公式)
将u = sinx代回原式,得到:
I(0 x)= (-1/20) ∫ (1 - sin^2x)^2cos(5x)dx + C
= (-1/20) ∫ (cos^2x - 2sin^2xcos^2x + sin^4x)cos(5x)dx + C (使用三角恒等式sin^2x = 1 - cos^2x)
= (-1/20) ∫ (cos^2xcos(5x) - 2sin^2xcos^2xcos(5x) + sin^4xcos(5x))dx + C
= (-1/20) (1/6)sin(6x) - (1/40)sin(4x) + (1/100)sin(2x) + C (使用积分公式)
因此,原式的解为:(-1/120)sin(6x) - (1/800)sin(4x) + (1/2000)sin(2x) + C。