3. 证明 R = {<x, y>| |x - 8| = |y - 8|, x, y ∈ I} 为等价关系, 并确定等价类，商集

要证明一个关系是等价关系，需要满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任意的元素 x ∈ I，都有 xRx 成立；
2. 对称性：对于任意的元素 x, y ∈ I，如果 xRy 成立，那么 yRx 也成立；
3. 传递性：对于任意的元素 x, y, z ∈ I，如果 xRy 和 yRz 都成立，那么 xRz 也成立。

我们来逐一验证：

1. 自反性：对于任意的元素 x ∈ I，都有 |x-8| = |x-8|，因此有 xRx，自反性成立。
2. 对称性：对于任意的元素 x, y ∈ I，如果 |x-8| = |y-8| 成立，那么有 |y-8| = |x-8|，即 yRx 成立，因此有 xRy 和 yRx，对称性成立。
3. 传递性：对于任意的元素 x, y, z ∈ I，如果 |x-8| = |y-8| 和 |y-8| = |z-8| 都成立，那么有 |x-8| = |z-8|，即 xRz 成立，因此有 xRy, yRz 和 xRz，传递性成立。

因此，R 是等价关系。

等价类是指与某个元素 x 等价的所有元素构成的集合，我们可以把 R 分成三个等价类：

1. {1, 15}
2. {2, 14}
3. {3, 13, 4, 12, 5, 11, 6, 10, 7, 9, 8}

它们分别对应了 |x-8| 等于 7、6 和 5 的所有元素。

商集是指由等价类构成的集合，我们可以把 R 的商集表示为：

{ {1, 15}, {2, 14}, {3, 13, 4, 12, 5, 11, 6, 10, 7, 9, 8} }

相关问题

设A = { 1, 2, …, 10 }，对于A上的模3等价关系（即同余关系）R = { < x, y > | (x y)/3Z }，如何证明此关系是等价关系？等价类[x]R有哪几类？

要证明模3同余关系是等价关系，需要满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任何x∈A，都有xRx，即x与自己同余。
2. 对称性：对于任何x, y∈A，如果xRy，则yRx，即同余关系是对称的。
3. 传递性：对于任何x, y, z∈A，如果xRy且yRz，则xRz，即同余关系是传递的。

现在我们分别来证明这三个条件：

1. 自反性：对于任何x∈A，都有x/3*0，即x与自己同余，因此自反性成立。

2. 对称性：对于任何x, y∈A，如果xRy，则x-y=3k，其中k∈Z。因为3k=(-3)(-k)，所以yRx也成立，即同余关系是对称的。

3. 传递性：对于任何x, y, z∈A，如果xRy且yRz，则x-y=3k1，y-z=3k2，其中k1, k2∈Z。将两个式子相加，得到x-z=3(k1+k2)，因此xRz，即同余关系是传递的。

因此，模3同余关系是等价关系。

对于等价类[x]R，它的定义是{x∈A | xRy}，也就是说，它包含所有与x模3同余的元素。因此，等价类共有3个，分别是[0]R={0, 3, 6, 9}，[1]R={1, 4, 7, 10}，[2]R={2, 5, 8}。

设A = { 1, 2, …, 10 }，对于A上的模3等价关系（即同余关系）R = { < x, y > | (x  y)/3Z }，如何证明此关系是等价关系？等价类[x]R有哪几类？

要证明此关系是等价关系，需要证明它满足自反性、对称性和传递性。

1. 自反性：对于任意的x∈A，有x-x=0，0/3=0∈Z，因此有<x,x>∈R，即任意元素都与自身等价。

2. 对称性：对于任意的x,y∈A，若<x,y>∈R，则(x-y)/3∈Z，即(y-x)/(-3)∈Z，因此有<y,x>∈R，即若x与y等价，则y也与x等价。

3. 传递性：对于任意的x,y,z∈A，若<x,y>∈R且<y,z>∈R，则(x-y)/3∈Z且(y-z)/3∈Z，因此(x-z)/3=(x-y)/3+(y-z)/3∈Z，即<x,z>∈R，即若x与y等价，y与z等价，则x与z也等价。

由此可知，该关系是等价关系。

根据模3等价关系的定义，对于任意的x∈A，它的等价类可以表示为：

- 如果x mod 3 = 0，则[x]R = {x, x+3, x+6, …, 10}。
- 如果x mod 3 = 1，则[x]R = {x, x+3, x+6, …, 9}。
- 如果x mod 3 = 2，则[x]R = {x, x+3, x+6, …, 8}。

因此，等价类一共有3类。