按“Y-X-Z”旋转的四元数转欧拉角的公式是什么

### 回答1：
"Y-X-Z" 欧拉角表示的是绕着 Y 轴、接着绕着 X 轴、最后绕着 Z 轴旋转的顺序，对应的旋转矩阵可以用以下的公式计算：

R = Rz(θ_Z) * Rx(θ_X) * Ry(θ_Y)

其中，Ry(θ_Y)、Rx(θ_X)、Rz(θ_Z) 分别表示绕着 Y、X、Z 轴旋转的旋转矩阵，θ_Y、θ_X、θ_Z 分别表示绕着 Y、X、Z 轴旋转的角度。具体而言，这些旋转矩阵可以表示为：

Ry(θ_Y) = [ cos(θ_Y)  0  sin(θ_Y)
            0         1  0
           -sin(θ_Y)  0  cos(θ_Y) ]

Rx(θ_X) = [ 1  0          0
            0  cos(θ_X)  -sin(θ_X)
            0  sin(θ_X)   cos(θ_X) ]

Rz(θ_Z) = [ cos(θ_Z)  -sin(θ_Z)  0
            sin(θ_Z)   cos(θ_Z)  0
            0          0         1 ]

通过组合这三个旋转矩阵，就可以得到绕着 Y-X-Z 顺序旋转的旋转矩阵 R。这个旋转矩阵可以表示为：

R = [ cos(θ_Y) * cos(θ_Z) - sin(θ_X) * sin(θ_Y) * sin(θ_Z)  -cos(θ_X) * sin(θ_Z)  sin(θ_Y) * cos(θ_Z) + cos(θ_Y) * sin(θ_X) * sin(θ_Z)
      cos(θ_Y) * sin(θ_Z) + sin(θ_X) * sin(θ_Y) * cos(θ_Z)   cos(θ_X) * cos(θ_Z)  sin(θ_Y) * sin(θ_Z) - cos(θ_Y) * sin(θ_X) * cos(θ_Z)
      -sin(θ_X) * cos(θ_Y)                               sin(θ_X)               cos(θ_X) * cos(θ_Y)                              ]

其中，θ_Y、θ_X、θ_Z 分别是绕着 Y、X、Z 轴旋转的角度。

### 回答2：
按照“Y-X-Z”旋转顺序的四元数转欧拉角的公式如下：

假设四元数表示为q = w + xi + yj + zk，其中w为实部，x、y、z为虚部。为了将四元数转换为欧拉角，首先需要将四元数转换为旋转矩阵，然后从旋转矩阵中提取出对应的欧拉角。

四元数转换为旋转矩阵的公式为：

R = [
1 - 2y^2 - 2z^2, 2xy - 2wz, 2xz + 2wy
2xy + 2wz, 1 - 2x^2 - 2z^2, 2yz - 2wx
2xz - 2wy, 2yz + 2wx, 1 - 2x^2 - 2y^2
]

其中R为一个3x3的旋转矩阵。

从旋转矩阵中提取出对应的欧拉角需要使用反三角函数：

pitch = asin(-2(xz - wy))
roll = atan2(2(yz + wx), 1 - 2(y^2 + x^2))
yaw = atan2(2(xy + wz), 1 - 2(z^2 + y^2))

其中pitch、roll、yaw分别为绕X轴、Y轴、Z轴旋转的欧拉角，单位为弧度。

这样，就可以通过这个公式将按照“Y-X-Z”旋转顺序的四元数转换为对应的欧拉角。

### 回答3：
四元数（quaternion）是一种用数学方式表示旋转的工具，可以通过四元数转换为欧拉角（Euler angles）来描述旋转。按“Y-X-Z”顺序旋转的四元数转欧拉角的公式如下：

首先将四元数表示为q = a + bi + cj + dk，其中a是实部，bi + cj + dk是虚部。接下来，根据旋转顺序“Y-X-Z”将旋转分解为三个旋转分量：

1. 绕Y轴旋转的角度（yaw）：
yaw = atan2(2(ab + cd), a^2 + b^2 - c^2 - d^2)

2. 绕X轴旋转的角度（roll）：
roll = atan2(2(ad - bc), a^2 - b^2 - c^2 + d^2)

3. 绕Z轴旋转的角度（pitch）：
pitch = asin(2(ac + bd))

注意，上述公式中的atan2函数返回[-π,π]之间的角度。atan2函数是根据给定的实部和虚部计算角度的常用函数。

通过上述公式，我们可以将按“Y-X-Z”顺序旋转的四元数转换为对应的欧拉角，而欧拉角则可以更直观地描述物体的旋转姿态。