按“Z-Y-X”旋转的四元数转欧拉角的公式是什么

### 回答1：
按照“Z-Y-X”顺序旋转四元数转欧拉角的公式如下：

$$
\begin{aligned}
\phi &= \operatorname{atan2}(2(q_wq_x + q_yq_z), 1 - 2(q_x^2 + q_y^2))\\
\theta &= \operatorname{asin}(2(q_wq_y - q_zq_x))\\
\psi &= \operatorname{atan2}(2(q_wq_z + q_xq_y), 1 - 2(q_y^2 + q_z^2))
\end{aligned}
$$

其中，$q_w, q_x, q_y, q_z$是四元数的四个分量，$\phi, \theta, \psi$是对应的欧拉角（分别代表绕$Z$轴、$Y$轴和$X$轴旋转的角度）。这个公式的前提是四元数按照以下方式定义：

$$
q = q_w + q_xi + q_yj + q_zk
$$

其中，$i, j, k$是三个互相垂直的虚数单位，满足下列关系：

$$
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1
$$

四元数按照以下规则进行乘法：

$$
\begin{aligned}
i^2 &= j^2 = k^2 = ijk = -1 \\
ij &= -ji = k \\
jk &= -kj = i \\
ki &= -ik = j
\end{aligned}
$$

这个公式是将四元数转换为欧拉角的一种方法，通过这个公式，可以将四元数表示的旋转转换为欧拉角表示的旋转。

### 回答2：
按照“Z-Y-X”旋转顺序的四元数转换为欧拉角的公式如下：

1. 首先，计算四元数的w、x、y、z分量。

2. 计算欧拉角的其中一个分量θx（绕X轴旋转的角度）：
θx = atan2(2*(w*x + y*z), 1 - 2*(x*x + y*y))

3. 计算欧拉角的另一个分量θy（绕Y轴旋转的角度）：
θy = asin(2*(w*y - z*x))

4. 计算欧拉角的最后一个分量θz（绕Z轴旋转的角度）：
θz = atan2(2*(w*z + x*y), 1 - 2*(y*y + z*z))

这样，通过四元数的w、x、y、z分量可以得到按照“Z-Y-X”旋转顺序的欧拉角θx、θy、θz。

### 回答3：
按照“Z-Y-X”旋转顺序的四元数转欧拉角的公式如下：

设四元数表示为q = a + bi + cj + dk（a为实部，bi + cj + dk为虚部），则对应的欧拉角表示为roll、pitch和yaw。

roll角（绕X轴旋转）的计算公式为：
roll = atan2(2(bc + ad), a^2 - b^2 - c^2 + d^2)

pitch角（绕Y轴旋转）的计算公式为：
pitch = asin(-2(bd - ac))

yaw角（绕Z轴旋转）的计算公式为：
yaw = atan2(2(cd + ab), a^2 + b^2 - c^2 - d^2)

其中，atan2函数是一种常用的反正切函数，可以得到弧度制的结果。

这个公式可以将给定的四元数转换为欧拉角，从而实现从四元数到欧拉角的转换。这种转换方法适用于某些应用场景下，例如姿态估计、航空航天领域等。然而，需要注意的是，由于四元数的奇点和欧拉角的万向锁问题，四元数转欧拉角并非一一对应，有时会存在多个解或不唯一的情况。