用C语言编写程序，求函数y=x^2+1的曲线与X轴、Y轴及直线X=1所围成的图形面积，误差不高于总面积的千分之一。提示:可将图形按x轴方向分成N份(N>1000),然后，将每一份近似为一个矩形，将其面积累加得到总面积

在C语言中，计算函数y = x^2 + 1与X轴、Y轴以及直线x = 1围成的图形面积，并考虑到误差不超过总面积的千分之一，可以采用数值积分的方法。这里我们选择梯形法则来进行近似，因为其简单易实现。首先需要确定分割区间和步长，一般取N大于1000作为分割数。

以下是基本步骤：

1. 定义一个函数 `double f(double x)`，输入x并返回y值，即f(x) = x^2 + 1。
2. 初始化变量：`double total_area = 0`, `double dx` (分割区间)，`double y1`, `y2` 分别表示每个小矩形的上下边界。
3. 计算起始点（通常是0）和结束点（x = 1）的y坐标。
4. 循环次数设为N，从0开始到1，每次循环增加dx（例如dx = 1 / N），同时更新y1和y2。
5. 每次循环计算梯形的面积：`area = (y1 + y2) * dx`，并将这个面积累加到总积下面。
6. 当所有的梯形面积都计算完毕后，如果误差满足条件 (`abs(total_area - old_total_area) <= total_area * 0.001`)，则停止迭代；否则继续下一轮迭代，直到误差满足为止。
7. 最终返回累计的total_area。

这是一个基本的算法框架，具体的实现会涉及到一些数学公式和循环控制。下面是伪代码的示例：

#include <stdio.h>

double f(double x) {
    return x * x + 1;
}

double calculate_area(double start, double end, int n) {
    double total_area = 0, dx = (end - start) / n, prev_total = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        double x = start + i * dx;
        double y1 = f(start + (i - 1) * dx);
        double y2 = f(x);
        double area = (y1 + y2) * dx;
        total_area += area;

        // 控制误差
        if (fabs(total_area - prev_total) <= prev_total * 0.001)
            break;
        prev_total = total_area;
    }
    return total_area;
}

int main() {
    double x_min = 0, x_max = 1, N = 1001;
    double area = calculate_area(x_min, x_max, N);
    printf("The approximate area is: %lf\n", area);
    return 0;
}