如何使用C语言编写一个程序，首先展示牛顿插值法的差商表，然后利用该方法计算特定点x的函数值？

在C语言中，我们可以使用数组来表示差商表，并通过循环结构实现牛顿插值法。以下是一个简单的示例，展示了如何计算一维线性插值（最基础的牛顿插值法），并演示了如何逐步构建差商表。

#include <stdio.h>

// 定义函数值的数组，这里假设我们有一个预设的一组函数值(f(x))
#define NUM_POINTS 5
double function_values[NUM_POINTS] = {1.0, 4.0, 9.0, 16.0, 25.0}; // f(0), f(1), ..., f(n-1)

// 计算差商表（差商[i][j] = (function_values[j+1] - function_values[j]) / (points[j+1] - points[j]))
double** compute_difference_table(int num_points) {
    double** diff_table = malloc(num_points * sizeof(double*));
    for (int i = 0; i < num_points; ++i) {
        diff_table[i] = malloc((num_points - i) * sizeof(double));
        for (int j = 0; j <= num_points - i - 1; ++j) {
            diff_table[i][j] = (function_values[j + i + 1] - function_values[j]) / ((double)(j + 1));
        }
    }
    return diff_table;
}

// 牛顿插值法计算函数值
double newton_interpolation(double (*diff_table)[NUM_POINTS], int x, double points[]) {
    if (x < points[0] || x > points[NUM_POINTS - 1]) {
        printf("Error: Point %f is outside the interpolation range.\n", x);
        return 0.0;
    }

    int interval = 0;
    while (points[interval + 1] <= x) {
        interval++;
    }
    // 使用拉格朗日插值公式
    double result = function_values[0];
    for (int k = 0; k <= interval; ++k) {
        double l_k = 1.0;
        for (int m = 0; m <= interval; m++) {
            if (m != k) {
                l_k *= (x - points[m]) / (points[k] - points[m]);
            }
        }
        result += diff_table[k][interval] * l_k;
    }
    return result;
}

int main() {
    double points[NUM_POINTS] = {0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0};
    double diff_table = compute_difference_table(NUM_POINTS);

    // 打印差商表
    for (int i = 0; i < NUM_POINTS; ++i) {
        for (int j = 0; j <= NUM_POINTS - i - 1; ++j) {
            printf("差商[%d][%d]: %.2lf\n", i, j, diff_table[i][j]);
        }
    }

    // 示例计算点x=2.5的函数值
    double x_value = 2.5;
    double interpolated_value = newton_interpolation(diff_table, x_value, points);
    printf("当x=%f时，函数值为%f。\n", x_value, interpolated_value);

    // 清理内存
    for (int i = 0; i < NUM_POINTS; ++i) {
        free(diff_table[i]);
    }
    free(diff_table);
    return 0;
}