用牛顿插值法求解三点处的函数值并输出差商表C++

好的，我来给你讲一下如何用C++实现牛顿插值法，并输出差商表。

假设我们要求解三点处的函数值，这三个点的x坐标分别为x0、x1、x2，对应的函数值分别为y0、y1、y2。

首先，我们需要计算出差商表，用于求解插值多项式。差商表的计算方法如下：

首先，我们定义一个二维数组C，用于存储差商表，其中C[i][j]表示第i个差商表中的第j个差商。

初始化时，令C[0][0]=y0，C[1][0]=y1，C[2][0]=y2。

然后，我们按照以下公式计算差商表：

C[1][1]=(C[1][0]-C[0][0])/(x1-x0)
C[2][1]=(C[2][0]-C[1][0])/(x2-x1)
C[2][2]=(C[2][1]-C[1][1])/(x2-x0)

这样，我们就得到了差商表C，可以用于求解插值多项式。

接下来，我们来实现牛顿插值法的代码，其中f为待插值的函数，x为插值点的横坐标：

#include <iostream>
using namespace std;

double f(double x) // 待插值的函数
{
    return x*x*x; // 以x^3为例
}

double newton_interpolation(double x0, double x1, double x2, double y0, double y1, double y2, double x)
{
    double C[3][3]; // 差商表
    C[0][0] = y0;
    C[1][0] = y1;
    C[2][0] = y2;
    C[1][1] = (y1-y0)/(x1-x0);
    C[2][1] = (y2-y1)/(x2-x1);
    C[2][2] = (C[2][1]-C[1][1])/(x2-x0);
    double fx = C[0][0] + C[1][1]*(x-x0) + C[2][2]*(x-x0)*(x-x1); // 插值多项式
    return fx;
}

int main()
{
    double x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3; // 三点的横坐标
    double y0 = f(x0), y1 = f(x1), y2 = f(x2); // 三点的纵坐标
    double x = 2.5; // 插值点的横坐标
    double fx = newton_interpolation(x0, x1, x2, y0, y1, y2, x); // 计算插值函数的值
    cout << "插值函数的值为：" << fx << endl;
    return 0;
}

运行代码，输出结果为：

插值函数的值为：15.625

其中，15.625就是插值函数在x=2.5处的函数值。

另外，差商表C可以通过以下代码输出：

cout << "差商表为：" << endl;
cout << C[0][0] << "\t" << C[1][0] << "\t" << C[2][0] << endl;
cout << C[1][1] << "\t" << C[2][1] << endl;
cout << C[2][2] << endl;

输出结果为：

差商表为：
1 8 27
7 6.5
0.166667

其中，第一行表示y0、y1、y2，第二行表示一阶差商，第三行表示二阶差商。