用c++编程实现牛顿差商插值法，要求输出真个差商表

以下是使用C++编写的牛顿差商插值法的代码，包括输出整个差商表：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

double newton_interpolation(double x, vector<double> &X, vector<double> &Y);
void print_diff_table(vector<vector<double>> &table);

int main() {
    vector<double> X = {1, 2, 4, 5}; // 样本点的 X 坐标
    vector<double> Y = {3, 5, 2, 6}; // 样本点的 Y 坐标

    vector<vector<double>> diff_table(X.size(), vector<double>(X.size())); // 差商表

    // 计算差商表
    for (int i = 0; i < X.size(); i++) {
        diff_table[i][0] = Y[i];
    }
    for (int j = 1; j < X.size(); j++) {
        for (int i = j; i < X.size(); i++) {
            diff_table[i][j] = (diff_table[i][j-1] - diff_table[i-1][j-1]) / (X[i] - X[i-j]);
        }
    }

    // 输出差商表
    print_diff_table(diff_table);

    // 插值求解
    double x = 3.5; // 待插值的 x 坐标
    double y = newton_interpolation(x, X, Y);
    cout << "x = " << x << ", y = " << y << endl;

    return 0;
}

double newton_interpolation(double x, vector<double> &X, vector<double> &Y) {
    double result = Y[0];
    double temp = 1;
    vector<double> F(Y); // 差商表第一列

    for (int i = 1; i < X.size(); i++) {
        temp *= (x - X[i-1]);
        for (int j = i; j < X.size(); j++) {
            F[j] = (F[j] - F[j-1]) / (X[j] - X[j-i]);
        }
        result += F[i] * temp;
    }

    return result;
}

void print_diff_table(vector<vector<double>> &table) {
    cout << "差商表：" << endl;
    for (int i = 0; i < table.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < table[i].size(); j++) {
            cout << table[i][j] << "\t";
        }
        cout << endl;
    }
}

在本示例中，我们以样本点 $(1,3), (2,5), (4,2), (5,6)$ 为例，计算出其差商表，然后使用插值公式 $f(x) = \sum_{i=0}^{n} f[x_0, x_1, \cdots, x_i] \prod_{j=0}^{i-1} (x-x_j)$ 对 $x=3.5$ 进行插值求解。