给出一个考虑两种决策变量的变分不等式问题并写出利用投影收缩方法使用MATLAB进行求解的代码

一个考虑两种决策变量的变分不等式问题可以表示为：

$$
\begin{aligned}
\text{找到} \quad & x, y \\
\text{s.t.} \quad & x + y \geq 1 \\
& x, y \geq 0 \\
& x(y-2) \leq 0
\end{aligned}
$$

其中 $x$ 和 $y$ 是决策变量。

为了使用投影收缩方法解决此问题，我们需要对每个约束条件进行投影。对于不等式 $x + y \geq 1$，我们可以将其投影到非负半轴上，得到：

$$
P_{\mathbb{R}^2_+}(x + y - 1) = \begin{cases}
x + y - 1 & x + y \geq 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

对于不等式 $x(y-2) \leq 0$，我们可以将其投影到 $x$ 和 $y$ 坐标轴上，得到：

$$
P_{\mathbb{R}^2_+}(x(y-2)) = \begin{cases}
x(y-2) & x(y-2) \leq 0 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

现在，我们可以使用投影收缩算法来解决这个问题。我们从一个任意的起始点 $(x_0, y_0)$ 开始，然后交替进行投影和收缩步骤，直到收敛为止。具体来说，我们可以使用以下的 MATLAB 代码实现：

function [x, y] = solve_vip()
    % 初始点
    x = 0;
    y = 0;
    
    % 收敛阈值
    tol = 1e-6;
    
    % 投影收缩算法
    while true
        % 记录前一次的 x 和 y
        prev_x = x;
        prev_y = y;
        
        % 投影步骤
        x = max(0, prev_x + prev_y - 1);
        y = max(0, prev_x + prev_y - 1);
        if prev_x + prev_y < 1
            y = min(y, 2);
        end
        
        % 收缩步骤
        dx = x - prev_x;
        dy = y - prev_y;
        if norm([dx, dy]) < tol
            break;
        end
    end
end

该函数将返回变分不等式问题的解 $(x, y)$。