联合分布函数为1-2^(-x)-2^(-y)+2^(-x-y),求联合密度函数
时间: 2023-11-22 07:04:38 浏览: 29
要求联合密度函数,需要先求出边缘密度函数。首先可以得到边缘分布函数为:
F_x(x) = ∫∫f(x,y)dydx, from y=0 to y=∞, from x=-∞ to x=x
F_y(y) = ∫∫f(x,y)dydx, from x=0 to x=∞, from y=-∞ to y=y
对第一个式子求导得到 x 的边缘密度函数:
f_x(x) = ∂F_x(x) / ∂x = ∫f(x,y)dy, from y=0 to y=∞
类似地,对第二个式子求导得到 y 的边缘密度函数:
f_y(y) = ∂F_y(y) / ∂y = ∫f(x,y)dx, from x=0 to x=∞
然后用联合分布函数推断联合密度函数:
f(x,y) = ∂²F(x,y) / ∂x∂y = ∂²(F_x(x) * F_y(y)) / ∂x∂y
可以得到联合密度函数为:
f(x,y) = 2^(-x-y-2), x>0, y>0
注意到上式只在第一象限有值。
相关问题
Y=arccosy,求Z=X^2-2XY的概率密度函数
根据题意,我们需要求出Z=X^2-2XY的概率密度函数,其中Y=arccos(y)。
首先,我们考虑Y的取值范围。因为arccos(y)的取值范围是[0,π],所以Y的取值范围也是[0,π]。
接下来,我们使用变量替换法来求Z的概率密度函数。令U=X-Y和V=X,则X=(U+V)/2,Y=(V-U)/2。由此可得:
Z = (U+V)^2/4 - 2UV/4
= U^2/4 + UV/2 + V^2/4
接下来,我们需要求出U和V的联合概率密度函数fUV(u,v),然后根据变量替换法求出Z的概率密度函数fZ(z)。
因为U=X-Y和V=X是线性变量关系,所以它们的联合概率密度函数可以通过求解其雅可比行列式来得到:
fUV(u,v) = fXY((u+v)/2,(v-u)/2) * |J|
其中,fXY(x,y)是X和Y的概率密度函数,J是雅可比行列式,它的值为:
J = |dx/du dx/dv|
|dy/du dy/dv|
= |-1/2 1/2 |
|1/2 1/2 |
所以,
|J| = |-1/2 1/2| = 1/2
接下来,我们需要求解fXY(x,y),它的概率密度函数为:
fXY(x,y) = fX(x) * fY(y)
其中,X和Y是独立的随机变量,且X是一个标准正态分布,Y的概率密度函数为:
fY(y) = f(arccos(y)) * |dy/dy'|
其中,f(arccos(y))是Y=arccos(y)的概率密度函数,|dy/dy'|是雅可比行列式,它的值为:
|dy/dy'| = |-sin(arccos(y))| = |-√(1-y^2)| = √(1-y^2)
因此,Y的概率密度函数为:
fY(y) = f(arccos(y)) * √(1-y^2)
将fX(x)和fY(y)代入fXY(x,y)中,可得:
fXY(x,y) = (1/2π) * e^(-x^2/2) * f(arccos(y)) * √(1-y^2)
接下来,将fXY(x,y)和|J|代入fUV(u,v)中,可得:
fUV(u,v) = (1/4π) * e^(-u^2/4-v^2/4+uv/2) * √(1-((v-u)/2)^2)
最后,我们使用变量替换法求出Z的概率密度函数fZ(z)。令z=u^2/4+uv/2+v^2/4,则:
u = √(4z-v^2) - v
v = V
J = |du/dz du/dv|
|dv/dz dv/dv|
我们可以通过计算J的逆矩阵来求出du/dz、du/dv、dv/dz和dv/dv的值。最终,我们得到:
fZ(z) = (1/2π) * ∫(从0到π) e^(-u^2/4-v^2/4+uv/2) * √(1-((v-u)/2)^2) * |J| * dv
其中,|J|的值为1/2,dv的积分范围为0到π。将u和v代入上式,可得:
fZ(z) = (1/4π) * ∫(从0到π) e^(-(u^2+2uv+v^2)/4) * √(4z-v^2) * dv
这个积分式可以通过换元法将其化简为高斯函数的形式,最终得到:
fZ(z) = (1/2π√z) * ∫(从0到π) e^(-(v^2-2z)/4) * √(4z-v^2) * dv
令t=v/√(4z),则:
fZ(z) = (1/8πz) * ∫(从0到√(4z)/2) e^(-t^2) * √(1-t^2) * dt
这个积分式可以通过换元法将其化简为高斯函数和伽马函数的形式,最终得到:
fZ(z) = (1/8z^(3/2)) * (2-π/2*√(π) * erf(√z/2) - √(π) * e^(-z/4) * γ(3/2, z/4))
其中,erf(x)是误差函数,γ(a,x)是不完全伽马函数。因此,Z的概率密度函数为:
fZ(z) = (1/8z^(3/2)) * (2-π/2*√(π) * erf(√z/2) - √(π) * e^(-z/4) * γ(3/2, z/4)),其中z属于[0,∞)。
Z=X^2-2XY的概率密度函数
我犯了一个错误,我的回答中的Z的取值范围不正确,应该是Z的取值范围是[0,∞)。因为X^2>=0, -2XY<=0,所以Z=X^2-2XY>=0。
现在来回答你的问题:Z=X^2-2XY的概率密度函数。
首先,我们需要确定Z的取值范围是[0,∞)。
接下来,我们使用变量替换法来求Z的概率密度函数。令U=X-Y和V=X,则X=(U+V)/2,Y=(V-U)/2。由此可得:
Z = (U+V)^2/4 - 2UV/4
= U^2/4 + UV/2 + V^2/4
接下来,我们需要求出U和V的联合概率密度函数fUV(u,v),然后根据变量替换法求出Z的概率密度函数fZ(z)。
因为U=X-Y和V=X是线性变量关系,所以它们的联合概率密度函数可以通过求解其雅可比行列式来得到:
fUV(u,v) = fXY((u+v)/2,(v-u)/2) * |J|
其中,fXY(x,y)是X和Y的概率密度函数,J是雅可比行列式,它的值为:
J = |dx/du dx/dv|
|dy/du dy/dv|
= |-1/2 1/2 |
|1/2 1/2 |
所以,
|J| = |-1/2 1/2| = 1/2
接下来,我们需要求解fXY(x,y),因为X和Y是独立的,所以:
fXY(x,y) = fX(x) * fY(y)
根据题意可知,X和Y都是均值为0、方差为1的标准正态分布。因此:
fX(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)
fY(y) = (1/√(2π)) * e^(-y^2/2)
代入上式,可得:
fXY(x,y) = (1/2π) * e^(-x^2/2-y^2/2)
将fXY(x,y)和|J|代入fUV(u,v)中,可得:
fUV(u,v) = (1/4π) * e^(-u^2/4-v^2/4+uv/2)
最后,我们使用变量替换法求出Z的概率密度函数fZ(z)。令z=u^2/4+uv/2+v^2/4,则:
u = √(4z-v^2) - v
v = V
J = |du/dz du/dv|
|dv/dz dv/dv|
我们可以通过计算J的逆矩阵来求出du/dz、du/dv、dv/dz和dv/dv的值。最终,我们得到:
fZ(z) = (1/2π) * ∫(从负无穷到正无穷) e^(-u^2/4-v^2/4+uv/2) * |J| * dv
其中,|J|的值为1/2,dv的积分范围为负无穷到正无穷。将u和v代入上式,可得:
fZ(z) = (1/4π) * ∫(从负无穷到正无穷) e^(-(u^2+2uv+v^2)/4) * √(4z-v^2) * dv
这个积分式可以通过换元法将其化简为高斯函数的形式,最终得到:
fZ(z) = (1/2√(πz^3)) * e^(-z/4)
因此,Z的概率密度函数为:
fZ(z) = (1/2√(πz^3)) * e^(-z/4),其中z属于[0,∞)。
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