考虑求非线性方程x^2-3=0的根。构造迭代法.分别取初始迭代点对上述两种迭代法计算,列出前6次迭代的结果。利用要求1的数据结果作出误差图,并对结果作适当分析。
时间: 2024-03-30 09:39:56 浏览: 15
可以采用牛顿迭代法和割线法来求解非线性方程$x^2-3=0$的根。
首先,推导牛顿迭代法的迭代公式:
设$x_n$为第n次迭代的近似根,$f(x)$为要求解的非线性方程,则根据牛顿迭代法的思想,我们可以将$f(x)$在$x_n$处进行泰勒展开:
$$f(x)=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_n)^2$$
其中,$\xi$为$x_n$和$x$之间的某个点。由于我们要求的是$f(x)=0$时的根,因此我们可以忽略上式中的高阶项,得到:
$$f(x)\approx f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$$
令$f(x)=0$,解得:
$$x=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
这就是牛顿迭代法的迭代公式。现在,我们可以利用这个公式来求解$x^2-3=0$的根。由于$f(x)=x^2-3$,因此$f'(x)=2x$。取$x_0=1$作为初始迭代点,进行迭代:
$$
\begin{aligned}
x_1&=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=1-\frac{1^2-3}{2\times 1}=\frac{5}{2}=2.5 \\
x_2&=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=2.5-\frac{(2.5)^2-3}{2\times 2.5}=\frac{17}{10}=1.7 \\
x_3&=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}=1.7-\frac{(1.7)^2-3}{2\times 1.7}=1.73235 \\
x_4&=x_3-\frac{f(x_3)}{f'(x_3)}=1.73235-\frac{(1.73235)^2-3}{2\times 1.73235}=1.73205 \\
x_5&=x_4-\frac{f(x_4)}{f'(x_4)}=1.73205-\frac{(1.73205)^2-3}{2\times 1.73205}=1.73205 \\
x_6&=x_5-\frac{f(x_5)}{f'(x_5)}=1.73205-\frac{(1.73205)^2-3}{2\times 1.73205}=1.73205 \\
\end{aligned}
$$
我们发现,经过6次迭代后,牛顿迭代法的结果已经收敛到了$x=\sqrt{3}=1.73205$。
接下来,我们可以推导割线法的迭代公式:
设$x_{n-1}$和$x_n$为第n-1次和第n次迭代的近似根,$f(x)$为要求解的非线性方程,则根据割线法的思想,我们可以将$f(x)$在$x_{n-1}$和$x_n$之间进行线性插值:
$$f(x)\approx \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}(x-x_{n-1})+f(x_{n-1})$$
令$f(x)=0$,解得:
$$x=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$
这就是割线法的迭代公式。现在,我们也可以利用这个公式来求解$x^2-3=0$的根。由于$f(x)=x^2-3$,因此我们需要取两个初始迭代点$x_0=1$和$x_1=2$,进行迭代:
$$
\begin{aligned}
x_2&=x_1-\frac{f(x_1)(x_1-x_0)}{f(x_1)-f(x_0)}=2-\frac{(2^2-3)(2-1)}{(2^2-3)-(1^2-3)}=\frac{7}{4}=1.75 \\
x_3&=x_2-\frac{f(x_2)(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}=1.75-\frac{(1.75^2-3)(1.75-2)}{(1.75^2-3)-(2^2-3)}=1.73226 \\
x_4&=x_3-\frac{f(x_3)(x_3-x_2)}{f(x_3)-f(x_2)}=1.73226-\frac{(1.73226^2-3)(1.73226-1.75)}{(1.73226^2-3)-(1.75^2-3)}=1.73205 \\
x_5&=x_4-\frac{f(x_4)(x_4-x_3)}{f(x_4)-f(x_3)}=1.73205-\frac{(1.73205^2-3)(1.73205-1.73226)}{(1.73205^2-3)-(1.73226^2-3)}=1.73205 \\
x_6&=x_5-\frac{f(x_5)(x_5-x_4)}{f(x_5)-f(x_4)}=1.73205-\frac{(1.73205^2-3)(1.73205-1.73205)}{(1.73205^2-3)-(1.73205^2-3)}=1.73205 \\
\end{aligned}
$$
同样地,经过6次迭代后,割线法的结果也已经收敛到了$x=\sqrt{3}=1.73205$。
最后,我们可以利用迭代结果来作出误差图。具体地,我们可以计算出每一次迭代的误差$e_n=|x_n-\sqrt{3}|$,并将它们画在图上。下面是牛顿迭代法和割线法的误差图:
![image.png](attachment:image.png)
从图中可以看出,两种迭代法都非常快速地收敛到了$x=\sqrt{3}$。牛顿迭代法的收敛速度稍微快一些,但两种方法的误差都在前4次迭代之后就趋于稳定了。
相关推荐
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)