对于一个正整数n,如果n除以某个正整数d所得的余数为0,我们称d是n的约 数。显然1和n-是n的约数，请问对于给定的n(n≥2),除了n本身以外，最 大的约数是多少?

### 回答1：
对于给定的正整数 n（n ≥ 2），除了 n 本身以外，最大的约数是 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$。

证明：

设最大的约数为 d，则有 d ≤ $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$。

如果 d > $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，则有 2d > n，而 2d 是 n 的约数，与假设 d 是最大的约数矛盾。因此 d ≤ $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$。

由于 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 是 n 的约数，所以 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 是最大的约数。

综上所述，对于给定的正整数 n（n ≥ 2），除了 n 本身以外，最大的约数是 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$。

### 回答2：
对于给定的正整数n(n≥2)，除了n本身以外，最大的约数是n的一半，即n/2。这是因为正整数n除以任何大于n/2的正整数所得的商均小于2，而除以n/2所得的商为2，此时余数为0。另一方面，对于任何小于n/2的正整数d，n除以d所得的商必然大于2，即n/d>2，此时余数为0的情况是不存在的。因此，最大的约数为n/2。

### 回答3：
对于给定的正整数n（n≥2），除了n本身以外，最大的约数是n-1。

首先，根据题目的描述，1和n-是n的约数，即1和n-能够整除n并且余数为0。

其次，我们要证明n的所有约数都不会大于n-1。假设存在一个正整数d，满足d>n-1且d是n的约数。那么我们可以将n表示为n=qd+r，其中q是一个正整数，r是一个小于d的非负整数。由于d>n-1，所以r=n-(n-1)=1。即n=qd+1，显然d无法整除n，因此d不是n的约数，与假设矛盾。

综上所述，对于给定的正整数n（n≥2），除了n本身以外，最大的约数是n-1。