用matlab分别写出利用 牛顿法和牛顿下山法迭代计算点到圆的最近距离 的代码，并给出备注

在MATLAB中，我们可以使用牛顿法（也称为牛顿-拉弗森法）和一种变种，即梯度下降法（通常用于解决优化问题，类似于牛顿下山法），来找到点到圆的最近距离。这里假设我们有一个圆心\( c \)和半径\( r \)，以及一个点\( p \)。

**1. 牛顿法（Point-to-Circle Newton's Method）**

% 定义函数和它的导数（切线斜率）
function [f, df] = circle_distance(p, c, r)
    f = sqrt(sum((p - c).^2)) - r; % 点到圆的距离减去半径
    df = (p - c)./f; % 导数，指向圆心方向

% 初始猜测
p_guess = p;
tol = 1e-6; % 相对精度
max_iter = 100; % 最大迭代次数

% 牛顿迭代
for iter = 1:max_iter
    dp = -df; % 根据负导数调整位置
    new_p = p_guess + dp;
    
    % 检查是否达到精度
    if norm(new_p - p_guess) < tol * max(norm(dp), norm(p_guess))
        break;
    end
    
    p_guess = new_p;
end
% 返回最近点
[min_distance, min_point] = min(f); % 最小距离对应的位置就是最近点

**2. 牛顿下山法（Gradient Descent with Newton Step）**

% 这里我们将梯度下降法与Hessian矩阵结合，形成牛顿步
function [min_distance, min_point] = newton_descent(p, c, r)
    hessian = eye(size(p)); % Hessian matrix for a simple distance function is identity
    f = @(x) sqrt(sum((x - c)./sqrt(sum((x - c).^2)); % 计算梯度

    % 初始化
    x = p;
    alpha = 1; % 学习率
    tol = 1e-6;

    % 牛顿步迭代
    for iter = 1:max_iter
        gradient = grad_f(x);
        delta_x = -inv(hessian) * gradient; % 使用Hessian的逆作为更新步长
        
        % 更新并检查收敛
        new_x = x + alpha * delta_x;
        if norm(delta_x) < tol
            break;
        end
        
        x = new_x;
    end

    % 最近点
    min_distance = f(x);
    min_point = x;
end

这两个函数都会返回最小距离和对应的点坐标。请注意，牛顿方法在处理非凸函数时可能会有问题，而牛顿下山法则更适用于这样的情况。如果圆上的最近点恰好在圆周上，上述代码将无法直接适应，因为它们都默认从初始点开始寻找。此外，对于较大的数据集，迭代过程可能需要优化，例如使用批量梯度下降或随机梯度下降。