已知下列两组插值点 a),,; b),,,; (1)利用拉格朗日插值法分别求通过这些插值点的插值多项式; (2)构造差商表,利用牛顿法求通过这些插值点的插值多项式。 在上述结果的基础上,如果再增加一点,那么应该采用那种方法建立插值多项式?为什么?
时间: 2023-08-16 22:06:12 浏览: 79
a) 对于插值点集合 {(0,1), (1,4), (2,13)},根据拉格朗日插值法可以得到三次插值多项式为:
L3(x) = [(x-1)(x-2)^2/2]*(1) + [(x-0)(x-2)^2/(-2)]*(4) + [(x-0)(x-1)(x-2)/2]*(13)
化简后可得:
L3(x) = -1.5x^3 + 9.5x^2 - 8x + 1
b) 对于插值点集合 {(-1,0), (0,1), (1,4), (2,13)},可以构造差商表如下:
x f[x] f[x, x+1] f[x, x+1, x+2] f[x, x+1, x+2, x+3]
-1 0
1
1/2 3/2
11/6 1
2/3 3 5/2
26/9 23/18
145/54
根据牛顿插值公式,可以得到三次插值多项式为:
N3(x) = 0 + 1*(x+1) + 3/2*(x+1)(x-0) + 5/2*(x+1)(x-0)(x-1) + 23/54*(x+1)(x-0)(x-1)(x-2)
化简后可得:
N3(x) = 23/54x^3 - 5/6x^2 + 19/18x + 1
c) 如果再增加一点,应该采用牛顿插值法建立插值多项式。因为牛顿插值法的差商表可以已知的插值点不变的情况下快速更新,而拉格朗日插值法的多项式需要重新计算。因此,增加一个插值点时,采用牛顿插值法可以更加高效。