已知下列两组插值点 a)A(0,1),B(1,2),C(2,3); b)A(1,0),B(3,2),C(4,15),D(7,12) (1)利用拉格朗日插值法分别求通过这些插值点的插值多项式; (2)构造差商表,利用牛顿法求通过这些插值点的插值多项式。 在上述结果的基础上,如果再增加一点(4,4),那么应该采用那种方法建立插值多项式?为什么?
时间: 2023-06-02 13:06:54 浏览: 138
问题属于数学问题,可以回答。
(1) 拉格朗日插值法求出的两个插值多项式分别为:
a) f(x) = 1 x(x-1)/2 - 1(x-2)/2 + 2(x-1)(x-2)/2
= x^2 - x + 1
b) f(x) = 0(x-3)(x-4)(x-7)/6 + 2(x-1)(x-4)(x-7)/3 - 15(x-1)(x-3)(x-7)/6 + 12(x-1)(x-3)(x-4)/6
= (1/6)x^3 - (11/6)x^2 + (25/6)x - 5
(2) 构造差商表如下:
a)
x f(x) Δf(x) Δ²f(x)
0 1
1 1
1 2 1
3 2 1
2 3 1 1
差商公式为:f[x₀,...,xₙ] = (f[x₁,...,xₙ] - f[x₀,...,xₙ₋₁]) / (xₙ - x₀)
则插值多项式为:
f(x) = 1 + x + (x-1)x/2 = x^2 - x + 1
b)
x f(x) Δf(x) Δ²f(x) Δ³f(x)
1 0 2
2 2 2
3 2 5/2 5/4 1/2
15 6 3/2
4 15 21/2 3 1/2
12 3/2
7 12
差商公式为:f[x₀,...,xₙ] = (f[x₁,...,xₙ] - f[x₀,...,xₙ₋₁]) / (xₙ - x₀)
则插值多项式为:
f(x) = 2 + (x-1)(1/2) + (x-1)(x-3)(1/4) + (x-1)(x-3)(x-4)(1/12)
= (1/6)x^3 - (11/6)x^2 + (25/6)x - 5
(3) 如果再增加一点(4,4),应该采用拉格朗日插值法建立插值多项式。因为牛顿法需要重新计算差商表,计算量比较大,而拉格朗日插值法只需要在原来的基础上添加一个插值点即可,计算量相对较小,更加高效。
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