本题要求编写程序，根据下式求π的近似值，直到最后一项小于给定精度eps。 2π​=1+31!​+3×52!​+3×5×73!​+⋯+3×5×⋯×(2×i+1)i!​+⋯

要编写一个程序来计算 π 的近似值，使用给出的公式，你需要按照以下步骤进行：

1. **定义变量**：
- `double pi`：存储 π 的近似值。
- `int i`：表示阶乘中的当前项数。
- `double term`：每一项的值。
- `double eps`：给定的精度。

2. **初始化**：
- 初始化 `pi` 为 1（因为 2π = 1），并设置初始值 `term` 和 `i`。

3. **循环条件**：
- 当 `term` 小于 `eps` 时，跳出循环。这是判断是否达到给定精度的标准。

4. **计算项**：
- 对于每一项，使用阶乘 `(2 * i + 1)!` 来计算，然后乘以适当的系数 3 和之前项的因子，将其加到 `pi` 上。

5. **递增项数**：
- 更新 `i`。

6. **更新项值**：
- 计算下一个项 `term` 的值。

下面是基本的 C 代码实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 注意：这里没有直接用浮点数的阶乘函数，因为它在计算大型阶乘时可能不准确。你可以选择一个更精确的算法（如 Stirling's approximation）或者使用库函数（例如，在gmp或MPFR这样的高精度数学库中）来计算阶乘

double factorial(int n) {
    if (n == 0 || n == 1)
        return 1;
    else
        return n * factorial(n - 1);
}

double calculate_pi(double eps, int max_terms) {
    double pi = 1.0;
    int i = 0;
    double term;

    while (true) {
        term = 3.0 * pow((2 * i + 1), i + 1); // 使用 pow 函数代替 i! 进行近似的计算
        pi += term;
        ++i;

        if (fabs(term) < eps) { // 检查精度
            break;
        }
        
        if (i >= max_terms) { // 如果超过了最大项数，也停止
            printf("Warning: Reached maximum terms (%d)\n", max_terms);
            break;
        }
    }

    return pi / 2.0; // 除以2得到 2π 的值
}

int main() {
    double eps = 1e-8; // 精度
    int max_terms = 10000; // 最大项数
    double approx Pi = calculate_pi(eps, max_terms);

    printf("Approximation of π with %lf precision and %d terms is %.15f\n", eps, max_terms, approx Pi);
    return 0;
}