利用Python求圆周率无穷数级

以下是两种利用Python求圆周率无穷数级的方法：

1. 利用蒙特卡罗方法求圆周率

import random

def estimate_pi(n):
    num_point_circle = 0
    num_point_total = 0
    for _ in range(n):
        x = random.uniform(0, 1)
        y = random.uniform(0, 1)
        distance = x**2 + y**2
        if distance <= 1:
            num_point_circle += 1
        num_point_total += 1
    return 4 * num_point_circle / num_point_total

print(estimate_pi(1000000)) # 输出：3.141732

2. 利用梅钦公式计算圆周率

import math

def machin_of_pi():
    pi = 4*(4*math.atan(1/5)-math.atan(1/239))
    return pi

print(machin_of_pi()) # 输出：3.141592653589793

相关问题

Python圆周率估算无穷级数

利用Python可以通过无穷级数来估算圆周率，其中一个经典的级数是莱布尼茨级数：
$$
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}
$$
可以写出Python代码实现该级数的计算：

import math

def estimate_pi(n):
    result = 0
    for i in range(n):
        sign = (-1) ** i
        term = 1 / (2 * i + 1)
        result += sign * term
    return 4 * result

print(estimate_pi(100000))
print(math.pi)

输出结果为：

3.1415826535897198
3.141592653589793

可以看到，当$n=100000$时，莱布尼茨级数可以精确地计算出$\pi$的前八位。不过，这种方法的缺点是收敛速度非常慢，需要计算很多项才能得到较为准确的结果。

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\[ \pi = 4 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} \]

为了求得小数点后9位数，我们需要编写一个程序，控制级数迭代到足够的项，使得后续项对结果的影响在精度范围内变得非常微小。下面是一个简单的示例：

def leibniz_series(n_terms):
    pi = 0.0
    sign = 1
    for k in range(n_terms):
        term = (sign * (1 / (2 * k + 1)))
        pi += term
        sign *= -1
    return pi * 4

# 求小数点后9位
n_terms = 10**7  # 很大的数值，实际计算中通常需要更多项来达到足够精度
approx_pi = round(leibniz_series(n_terms), 9)

print(f"Using Leibniz series, π approximated to 9 decimal places is {approx_pi}")