用差分法求解边值问题: δu=cos3xsinπy,(x,y)∈g=(0,π)*(0,1),u(x,0)=u(
时间: 2023-12-01 13:00:57 浏览: 44
用差分法求解边值问题主要分为以下几个步骤:
1. 确定网格
首先,我们需要确定一个适当的网格来离散化求解区域。在这个问题中,边界g被定义为(0,π)*(0,1),我们可以选择将这个区域划分成n个子区间,每个子区间的长度为h=π/n。在x方向上,我们取等间距节点x_i=i*h,其中i=0,1,...,n;在y方向上,我们取等间距节点y_j=j*h,其中j=0,1。
2. 确定差分格式
我们选择中心差分格式来离散化边值问题。对于给定的节点(x_i,y_j),我们可以将偏导数关系近似为:
δu/δx ≈ (u_{i+1,j}-u_{i-1,j}) / (2h),
δu/δy ≈ (u_{i,j+1}-u_{i,j-1}) / (2h)。
3. 离散化方程
将上述近似关系带入边值问题中的偏微分方程,我们可以得到差分方程。在这个问题中,我们有:
(u_{i+1,j}-u_{i-1,j}) / (2h) ≈ cos(3x_i)·sin(πy_j),
(u_{i,j+1}-u_{i,j-1}) / (2h) ≈ cos(3x_i)·sin(πy_j)。
4. 构建方程组
通过对离散化的方程进行整理,我们可以得到一个以未知数u_{i,j}为变量的线性方程组。对于内部节点(即非边界节点),我们可以得到以下方程:
(u_{i+1,j}-u_{i-1,j}) + (u_{i,j+1}-u_{i,j-1}) = 4h^2·cos(3x_i)·sin(πy_j)。
5. 解线性方程组
解上述线性方程组可以得到网格节点上的数值解。这可以通过直接求解或者迭代求解的方法来完成。
最后,通过将数值解对应到网格节点上,我们就能够得到边值问题的数值解。