matlab newton插值

Newton插值是一种常用的插值方法，它基于差商的概念，可以通过已知的数据点构造一个多项式函数，从而实现对未知数据点的预测。

具体来说，设有n个已知点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)$，其中$x_0,x_1,\cdots,x_n$两两不同，令$f[x_i]=y_i$，定义差商为：

$$f[x_i,x_{i+1},\cdots,x_j]=\frac{f[x_{i+1},\cdots,x_j]-f[x_i,\cdots,x_{j-1}]}{x_j-x_i}$$

其中$i\leq j$，$f[x_i,x_{i+1},\cdots,x_j]$表示点$(x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1}),\cdots,(x_j,y_j)$的差商。

利用差商，可以构造一个n次多项式函数：

$$P_n(x)=f[x_0]+\sum\limits_{j=1}^n f[x_0,x_1,\cdots,x_j]\prod\limits_{i=0}^{j-1}(x-x_i)$$

其中$f[x_0]$表示常数项，$f[x_0,x_1,\cdots,x_j]$表示第j次差商，$\prod\limits_{i=0}^{j-1}(x-x_i)$表示j次项的系数。

利用Newton插值方法可以实现在给定数据点上进行插值和外推。

以下是使用matlab实现Newton插值的代码示例：

function y = newton_interpolation(x, x_data, y_data)
% x: 待求函数值的自变量
% x_data: 已知数据点的自变量
% y_data: 已知数据点的因变量
% y: 根据插值多项式计算得到的函数值

n = length(x_data);
f = zeros(n, n);
f(:, 1) = y_data';

for j = 2:n
    for i = j:n
        f(i, j) = (f(i, j-1) - f(i-1, j-1)) / (x_data(i) - x_data(i-j+1));
    end
end

y = f(1, 1);
for j = 1:n-1
    p = 1;
    for i = 1:j
        p = p * (x - x_data(i));
    end
    y = y + f(j+1, j+1) * p;
end

其中，输入参数x、x_data、y_data分别为待求函数值的自变量、已知数据点的自变量和因变量，输出y为根据插值多项式计算得到的函数值。