若无向图G =(V,E)中含8个顶点,要保证图G在任何情况下都是连通的,则需要的边数最少是:
时间: 2024-03-16 20:45:38 浏览: 225
当一个无向图是连通的时,它的任意两个顶点都可以通过边连接起来。在一个具有8个顶点的无向图中,最少需要7条边才能保证该图是连通的。这是因为当一个无向图中的边数小于7时,必然存在两个不相连的顶点,因此图不连通。而当边数为7时,可以构造一种连通的无向图,如下所示:
```
1 -- 2 -- 3
| | |
4 -- 5 -- 6
\ |
7
|
8
```
因此,需要的边数最少是7条。
相关问题
若无向图g =(v,e)中含7个顶点,要保证图g在任何情况下都是连通的,则需要的边数最少是:
### 回答1:
根据欧拉公式,如果一个图是连通的,则它的顶点数、边数和面数之间有如下关系:v - e + f = 2,其中 v 是顶点数,e 是边数,f 是面数。
根据题目描述,g 包含 7 个顶点且是无向图,要保证 g 在任何情况下都是连通的,那么至少需要 6 条边才能连接这 7 个顶点。如果 g 恰好有 6 条边,则根据欧拉公式,f = 1,也就是说 g 只有一个面。如果再添加一条边,也就是 e = 7,则根据欧拉公式,f = 2,也就是说 g 有两个面。因此,g 最少有 6 条边,且最少有 2 个面。
所以,要保证 g 在任何情况下都是连通的,且至少有 2 个面,则需要满足 e ≥ 6,f ≥ 2。根据欧拉公式可以推导出 v ≤ e + 2,代入 e ≥ 6 可得 v ≤ 8。
因此,g 中顶点数最少为 7,边数最少为 6,且顶点数最多为 8。而当 g 中有 8 个顶点时,需要满足 e ≥ 7,f ≥ 2,根据欧拉公式可以推导出至少有 9 条边,这与顶点数最多为 8 矛盾,因此 g 中顶点数最多为 7。
综上所述,g 中顶点数为 7,边数至少为 6,边数至多为 12。因此,g 中的边数最少为 6。
### 回答2:
如果一个无向图要保证在任何情况下都是连通的,那么这个图应该是一个连通图。对于一个无向图G=(V,E),如果G是连通图,则从任意一个顶点出发可以到达图中的任意一个顶点。因此,在一个有n个顶点的连通图中,至少需要n-1条边才能使得这个图连通,即达到“无孤立点,无孤立边”的状态。
所以对于本题的情况,含有7个顶点的连通图至少需要6条边才能保证它在任何情况下都是连通的。这是因为当只有1条边时,只能构成一个二分图,若这个二分图为两个独立的子图,则对于这些子图中的顶点对就不连通;当有2条边时,可以构成一个组成矩形的连通图,但是如果任意一条边去掉,则这个图就不再连通;当有3条边时,可以构成一个组成三角形的连通图,但是如果再添加一个顶点,则这个图就不再连通了;当有4条边时,可以构成一个组成平行四边形的连通图,但是如果再添加一个顶点,则这个图就不再连通了;当有5条边时,可以构成一个组成五边形的连通图,但是同样如果再添加一个顶点,则这个图就不再连通了;当有6条边时,可以构成一个组成六边形的连通图,而且添加一个顶点之后,这个图也依然连通。
综上所述,真正能保证在任何情况下都是连通的、含有7个顶点的连通图,至少需要6条边。
### 回答3:
要确保无向图g = (v, e)中含有7个顶点的任何情况下都是连通的,我们需要找到最小的边数来实现这一目标。
对于无向图,n个顶点的完全连通图有n(n-1)/2个边。在本例中,我们需要确保7个顶点都是连通的,因此我们需要一个包含所有这些顶点的最小生成树。最小生成树是一种只包含n个顶点,但仍然可能是一个复杂图的最小可能的生成子图。因此,我们可以使用Kruskal或Prim算法来寻找最小生成树。
对于7个顶点的无向图,最小生成树可能包含的最小边数为6条。我们可以按以下方式计算最小生成树的数量。首先,在图中选择任意一个顶点作为起始点,然后选择6个最短距离的边将它连接到其它点。这样我们获得的就是一个最小生成树,包含了所有这些顶点,并且只使用了6条边。如果我们再添加一条边,就会形成一个环,并且会多一个顶点与它连接。也就是说,最小生成树的数量只有一种可能性,即含6条边。
因此,7个顶点的无向图,要保证在任何情况下都是连通的,需要的边数最少是6条。
设无向图G = (V,E)和G’= (V’,E’),若G’是G的生成树,G’是G的极小连通子图且V’= V吗
是的,如果G'是G的生成树,那么G'是G的极小连通子图。因为生成树是一个无向连通图,它包含原图的所有顶点,且不包含任何环。在生成树中,我们可以通过连接节点之间的边来访问所有节点,因此生成树是连通的。此外,任何比生成树更小的连通子图都不包含原图中的所有顶点,因此生成树是极小的。所以,如果G'是G的生成树,则V' = V。
阅读全文