计算两个平行线之间的距离 向量方法

假设有两条平行线 L1 和 L2，它们的方向向量分别为 v1 和 v2。如果我们将其中一条线任意平移一段距离，使其与另一条线重合，那么它们之间的距离就是这段平移距离。

具体地说，我们可以选择一点 P1 在 L1 上，然后选择一点 P2 在 L2 上，使得向量 P1P2 与 v1 垂直。那么从 P2 开始，我们可以向 v2 的方向平移一段距离 d，直到达到另一条线上的点 P3。此时，P3P1 就是两条平行线的距离，且有：

P3P1 = d / ||v2||

其中，||v2|| 表示 v2 的模长。因为向量 P1P2 与 v1 垂直，所以有：

P1P2 · v1 = 0

其中，· 表示向量的点积。展开上式，我们得到：

(P1 + t v1 - P2) · v1 = 0

化简后可得：

t = (P2 - P1) · v1 / ||v1||^2

其中，P2 - P1 表示向量 P1P2，||v1||^2 表示 v1 的模长的平方。将 t 代入 P1 + t v1，即可得到向量 P3P1。最终，两条平行线之间的距离为：

d = ||P3P1|| = |(P2 - P1) · v1| / ||v1||

其中，|·| 表示向量的模长。

相关问题

计算两线段最小距离的matlab程序

以下是计算两线段最小距离的MATLAB程序：

function [dist, P1, P2] = minDistSegment(S1, S2)
% 计算两线段最小距离及其垂足
% S1, S2：线段，每行为一个端点的坐标
% dist：最小距离
% P1, P2：最小距离时，S1 和 S2 上的点坐标

% 计算两线段的向量
v1 = S1(2,:) - S1(1,:);
v2 = S2(2,:) - S2(1,:);

% 计算两线段的长度
len1 = norm(v1);
len2 = norm(v2);

% 将两线段向量单位化
v1 = v1 / len1;
v2 = v2 / len2;

% 计算叉积
cp = cross([v1, 0], [v2, 0]);

% 如果两线段平行
if norm(cp) == 0
    disp('两线段平行');
    % 计算垂足
    % 投影向量
    P = (S1(2,:) - S1(1,:)) * (S2(1,:) - S1(1,:))' / (S1(2,:) - S1(1,:)) * (S1(2,:) - S1(1,:))';
    % 计算垂足
    P1 = S1(1,:) + P * (S1(2,:) - S1(1,:)) / len1;
    P2 = S2(1,:);
    % 计算距离
    dist = norm(P1 - P2);
    
% 如果两线段不平行
else
    % 计算最小距离
    % 计算 S1 和 S2 上离对方线段最近的点
    t1 = cross([S2(1,:) - S1(1,:), 0], [v2, 0]) / cp;
    t2 = cross([S1(1,:) - S2(1,:), 0], [v1, 0]) / cross([v2, 0], [v1, 0]);
    % 计算最小距离时 S1 和 S2 上的点坐标
    P1 = S1(1,:) + t1 * v1;
    P2 = S2(1,:) + t2 * v2;
    % 计算距离
    dist = norm(P1 - P2);
end

end

使用方法：

S1 = [0, 0; 1, 1]; % 第一条线段
S2 = [1, 0; 0, 1]; % 第二条线段
[dist, P1, P2] = minDistSegment(S1, S2); % 计算最小距离及其垂足

其中，S1 和 S2 为线段，每行为一个端点的坐标；dist 为最小距离；P1 和 P2 为最小距离时，S1 和 S2 上的点坐标。

知道两条平行线段的点坐标，如何计算两条线段的距离

若已知两条平行线段的两个端点的坐标，可以通过以下步骤计算它们的距离：

1. 计算两条线段的法向量，即这两条线段所在直线的法向量。

2. 求出任意一条线段与另一条线段的垂直平分线的交点，这个点即为两条线段的距离。

3. 利用向量的点积公式计算两条线段间的距离。

如果不熟悉向量及几何计算，可以参考相关资料或课程学习。