MATLAB使用无优化极小值点判断多元非二次函数是否有极小值点 以f = x1^3/3 + x2^3/3 - x2^2 -x1 为例的实验结论

MATLAB中可以利用`fminunc`或`fminsearch`等优化函数来寻找多元非线性函数的局部最小值点，但这并不是直接用于判断极小值点的存在。通常，我们先尝试找到可能的候选解，然后通过Hessian矩阵分析或其他数值方法验证。

对于给定的例子，函数 `f(x) = (x1^3)/3 + (x2^3)/3 - x2^2 - x1`，你可以按照以下步骤操作：

1. **定义函数**：在MATLAB中创建一个M文件，输入函数f(x1, x2)的定义。

function f = myFunction(x)
    f = (x(1)^3)/3 + (x(2)^3)/3 - x(2)^2 - x(1);
end

2. **初始搜索**：使用`fminunc`或`fminsearch`查找可能的最小值点，例如从原点开始 `(0,0)` 或随机初始化一组点。

options = optimoptions('fminunc', 'Display', 'off');
[x_min, f_min] = fminunc(@myFunction, [0; 0], options);

3. **检验极小值**：得到的`x_min`即为可能的极小值点。为了确认这是极小值点，你需要检查Hessian矩阵的正定性。在`optimtool`或自定义函数中计算二阶导数矩阵，并检查它是否对角占优正定。

hessian = hessian(@(x) myFunction(x), x_min);
isMinimum = all(diag(hessian) > 0 && trace(hessian) > sum(diag(hessian)));

4. **实验结论**：如果`isMinimum`返回`true`，则说明`x_min`是一个局部极小值点；反之，可能是极大值点、鞍点或其他情况。