求分数序列前20项之和

求分数序列 \( \frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \frac{5}{3} + \frac{8}{5} + \ldots + \frac{F_n}{F_{n-1}} + \ldots + \frac{F_{20}}{F_{19}} \) 的前20项之和，其中 \( F_n \) 是第n个斐波那契数。由于斐波那契数列的性质，每个后续的分数的分子都是当前的斐波那契数，而分母是前面的斐波那契数。这样的序列在数学上称为“黄金分割数列”的倒置形式。

计算此类序列的和通常需要一种高效的算法，因为直接计算每个分数然后相加效率较低。一个常见的做法是使用动态规划或者记忆化搜索来存储已经计算过的斐波那契数值，以便减少重复计算。下面是一个简单的C程序示例，采用了动态规划的方式：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 斐波那契数列辅助函数，采用动态规划存储
long long fib_cache[21]; // 假设我们只求到第20项

long long fibonacci(int n) {
    if (fib_cache[n] != 0) // 如果已计算过，直接返回结果
        return fib_cache[n];
    if (n <= 1) // 基本情况
        return fib_cache[n] = n;
    else
        return fib_cache[n] = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

int main() {
    int n = 20;
    long long total = 0;

    // 初始化前两个斐波那契数
    fib_cache[0] = 0, fib_cache[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        total += ((long long)fibonacci(i)) * fibonacci(i - 1); // 计算分数值
    }

    printf("前20项分数和为: %lld\n", total);
    return 0;
}

这个程序首先初始化前两个斐波那契数，然后通过循环计算每个分数的值，并将其累加起来。