c语言单纯形法求解线性规划

在C语言中，单纯形法（Simplex Algorithm）通常用于解决线性规划问题，这是一种优化方法，用于找到线性目标函数在一组线性不等式约束下的最大值或最小值。线性规划模型通常表示为：

maximize (或minimize) c^T * x
subject to: A * x ≤ b
x ≥ 0

- `c`是一个m维列向量，代表目标函数的系数。
- `x`是一个n维列向量，是决策变量。
- `A`是一个m×n矩阵，不等式约束的系数矩阵。
- `b`是一个m维列向量，每个元素对应一个不等式右侧的值。
- `x ≥ 0` 表示所有变量非负。

C语言中使用单纯形法的步骤包括：

1. **初始基的选择**：选取可行域中的一个基变量，将其设为非基变量，并将剩余变量视为非负常数。

2. **检验终止条件**：如果当前基已经是最优解（即目标函数达到最大或最小），或基变为全0（意味着所有的变量都为零），则算法结束。

3. **计算检验数**：根据当前的基和目标函数，计算每个非基变量对应的检验数。

4. **进入或离开**：如果检验数大于0，说明可以通过增加该非基变量来提高目标函数，进入下一个表；如果小于0，说明应减小该变量，离开当前表。

5. **转换到下一个表**：根据进入或离开的选择，更新基和非基变量，然后继续迭代。

在实际应用中，可能需要借助于数学库（如GNU Scientific Library, GSL）或者一些专业的线性规划库来编写这样的算法，因为涉及到大量的矩阵运算和循环结构，C语言本身的语法可能会显得复杂。

相关问题

单纯形法求解线性规划问题c语言

单纯形法是一种求解线性规划问题的常用算法，它可以在有限步内找到最优解或确定问题无界或无可行解。下面是一个使用C语言实现单纯形法求解线性规划问题的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_N 100
#define MAX_M 100

double a[MAX_M + 1][MAX_N + MAX_M + 1];
int basis[MAX_M + 1];
int m, n;

void pivot(int r, int c) {
    double tmp = a[r][c];
    a[r][c] = 1;
    for (int j = 0; j <= n + m; j++) a[r][j] /= tmp;
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        if (i != r) {
            tmp = a[i][c];
            a[i][c] = 0;
            for (int j = 0; j <= n + m; j++) a[i][j] -= a[r][j] * tmp;
        }
    }
    basis[r] = c;
}

int feasible() {
    while (1) {
        int r = 0, c = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            if (a[i][0] < a[r][0]) r = i;
        }
        if (a[r][0] >= 0) return 1;
        double minv = 1e9;
        for (int j = 1; j <= n + m; j++) {
            if (a[r][j] < minv) {
                minv = a[r][j];
                c = j;
            }
        }
        if (minv == 1e9) return 0;
        pivot(r, c);
    }
}

int simplex() {
    while (1) {
        int r = 0, c = 0;
        for (int j = 1; j <= n + m; j++) {
            if (a[0][j] > a[0][c]) c = j;
        }
        if (a[0][c] <= 0) return 1;
        double minv = 1e9;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            if (a[i][c] > 0 && a[i][0] / a[i][c] < minv) {
                minv = a[i][0] / a[i][c];
                r = i;
            }
        }
        if (minv == 1e9) return 0;
        pivot(r, c);
    }
}

double simplex_solve(double *c, double *b, double **mat, double *x) {
    n = sizeof(c) / sizeof(double);
    m = sizeof(b) / sizeof(double);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            a[i][j] = mat[i - 1][j - 1];
        }
        for (int j = n + 1; j <= n + m; j++) {
            a[i][j] = (i == j - n) ? 1 : 0;
        }
        a[i][n + m + 1] = b[i - 1];
    }
    for (int j = 1; j <= n; j++) a[0][j] = -c[j - 1];
    feasible();
    if (!simplex()) return -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        x[i] = 0;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (basis[j] == i + 1) x[i] = a[j][0];
        }
    }
    return -a[0][0];
}

使用时，只需将线性规划问题转化为标准形式，即将约束条件通过引入松弛变量转化为等式，再将非负约束通过引入人工变量转化为等式，最后将优化目标函数转化为最大化问题，即可调用 `simplex_solve` 函数求解线性规划问题，其中 `c` 为目标函数系数向量，`b` 为约束条件右侧常数向量，`mat` 为约束条件系数矩阵，`x` 为最优解向量。

c语言输出一个利用单纯形法求解线性规划问题的代码，变量个数为10个

### 回答1：
以下是一个简单的 C 语言代码，用于使用单纯形法求解具有10个变量的线性规划问题：

#include <stdio.h>

#define M 3
#define N 10

void simplex(double a[M + 1][N + 1], int m, int n)
{
int i, j, k, l;
double t, u;

while (1) {
for (i = 1, j = 1; j <= n; j++)
if (a[][j] > a[][i])
i = j;
if (a[][i] <= )
break;
for (j = 1, k = ; k <= m; k++)
if (a[k][i] > && (j == 1 || a[k][n] / a[k][i] < t)) {
j = ;
t = a[k][n] / a[k][i];
l = k;
}
if (j == 1) {
printf("Unbounded\n");
return;
}
for (j = ; j <= n; j++)
if (j != i)
a[l][j] /= a[l][i];
a[l][i] = 1;
for (k = ; k <= m; k++)
if (k != l && (u = a[k][i])) {
for (j = ; j <= n; j++)
if (j != i)
a[k][j] -= u * a[l][j];
a[k][i] = -u * a[l][i];
}
for (j = ; j <= n; j++)
if (j != i)
a[][j] -= a[][i] * a[l][j];
a[][i] = -a[][i] * a[l][i];
}
printf("Optimal solution: %lf\n", a[][n]);
}

int main()
{
double a[M + 1][N + 1] = {
{ , -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10 },
{ , 1, , , , , , , , , },
{ , , 1, , , , , , , , },
{ , , , 1, , , , , , , }
};

simplex(a, M, N);

return ;
}

### 回答2：
以下是一个用C语言实现的利用单纯形法求解线性规划问题的简单代码，其中变量个数为10个。

#include <stdio.h>

#define MAX_ROW 3
#define MAX_COL 13

void swap(double *a, double *b) {
    double temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

void simplexMethod(double mat[MAX_ROW][MAX_COL], int row, int col) {
    int i, j, k;
    
    while (1) {
        int pivotColumn = -1;
        int pivotRow = -1;
        double minRatio = 0;
        
        // 找到入基列（最小系数）
        for (i = 1; i <= col-row-1; i++) {
            if (mat[0][i] > 0) {
                pivotColumn = i;
                break;
            }
        }
        
        if (pivotColumn == -1) {
            // 最优解已经找到
            break;
        }
        
        // 找到离基行（最小比值）
        for (i = 1; i <= row; i++) {
            if (mat[i][pivotColumn] > 0) {
                double ratio = mat[i][col] / mat[i][pivotColumn];
                if (pivotRow == -1 || ratio < minRatio) {
                    pivotRow = i;
                    minRatio = ratio;
                }
            }
        }
        
        if (pivotRow == -1) {
            // 问题无界
            break;
        }
        
        // 更新单纯形表
        for (i = 0; i <= row; i++) {
            for (j = 0; j <= col-row-1; j++) {
                if (i != pivotRow && j != pivotColumn) {
                    mat[i][j] -= mat[pivotRow][j] * mat[i][pivotColumn] / mat[pivotRow][pivotColumn];
                }
            }
        }
        
        // 利用拆分操作将基变量与非基变量交换
        for (i = 0; i <= row; i++) {
            if (i != pivotRow) {
                mat[i][pivotColumn] /= -mat[pivotRow][pivotColumn];
            }
        }
        
        for (j = 0; j <= col-row-1; j++) {
            if (j != pivotColumn) {
                mat[pivotRow][j] /= mat[pivotRow][pivotColumn];
            }
        }
        
        mat[pivotRow][pivotColumn] = 1.0 / mat[pivotRow][pivotColumn];
        
        // 更新基变量与非基变量位置
        swap(&mat[0][pivotColumn], &mat[pivotRow][pivotColumn+col-row-1]);
    }
}

int main() {
    double mat[MAX_ROW][MAX_COL] = {
        {40, 35, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 30, 1, 0},
        {10, 15, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 20, 0, 1},
        {1, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 4, 0, 0}
    };
    
    simplexMethod(mat, 2, 12);
    
    printf("最优解为：%lf\n", mat[0][12]);
    
    for (int i = 1; i <= 10; ++i) {
        printf("x%d = %lf\n", i, mat[i][12]);
    }

    return 0;
}

上述代码实现了一个简单的单纯形法解决线性规划问题的函数`simplexMethod`，并在`main`函数中示范了如何使用该函数求解一个示例问题。变量个数为10个，规划问题的约束条件和目标函数通过一个10x13的矩阵`mat`表示，其中前两行是约束条件，第三行是目标函数。函数在求解完成后输出最优解和各变量的取值。

### 回答3：
下面是一个通过C语言实现单纯形法求解线性规划问题的代码，其中变量个数为10个。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义线性规划问题的变量个数和约束个数
#define N_VARIABLES 10
#define N_CONSTRAINTS 5

// 函数声明
void simplex(double A[N_CONSTRAINTS+2][N_VARIABLES+N_CONSTRAINTS+2]);

int main() {
    // 创建线性规划问题的系数矩阵A
    double A[N_CONSTRAINTS+2][N_VARIABLES+N_CONSTRAINTS+2] = {
        { 1, -3, -2, -1,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0},
        { 0,  2,  1,  1,  1,  0,  0,  0,  0,  0,  8},
        { 0, -1,  1, -1,  0,  1,  0,  0,  0,  0, -1},
        { 0,  3,  1, -2,  0,  0,  1,  0,  0,  0,  6},
        { 0, -2, -1,  2,  0,  0,  0,  1,  0,  0, -2},
        { 0,  3,  2,  1,  0,  0,  0,  0,  1,  0, 10},
        { 0,  2,  1,  1,  0,  0,  0,  0,  0,  1,  6}
    };

    // 应用单纯形法求解线性规划问题
    simplex(A);

    // 打印最优解
    printf("最优解为：");
    for (int i = 0; i < N_VARIABLES; i++) {
        printf("%g ", A[N_CONSTRAINTS+1][i+N_CONSTRAINTS+1]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}

// 单纯形法求解线性规划问题
void simplex(double A[N_CONSTRAINTS+2][N_VARIABLES+N_CONSTRAINTS+2]) {
    int pivot_column, pivot_row;

    while (1) {
        // 寻找进入变量
        double min_coefficient = 0;
        for (int i = 1; i <= N_VARIABLES+N_CONSTRAINTS; i++) {
            if (A[0][i] < min_coefficient) {
                min_coefficient = A[0][i];
                pivot_column = i;
            }
        }

        // 如果没有负系数，则找到最优解
        if (min_coefficient >= 0) {
            break;
        }

        // 寻找离基变量
        double min_ratio = 0;
        for (int i = 1; i <= N_CONSTRAINTS; i++) {
            if (A[i][pivot_column] > 0) {
                double ratio = A[i][N_VARIABLES+N_CONSTRAINTS+1] / A[i][pivot_column];
                if (min_ratio == 0 || ratio < min_ratio) {
                    min_ratio = ratio;
                    pivot_row = i;
                }
            }
        }

        // 更新矩阵
        for (int i = 0; i <= N_CONSTRAINTS+1; i++) {
            for (int j = 0; j <= N_VARIABLES+N_CONSTRAINTS+1; j++) {
                if (i == pivot_row && j == pivot_column) {
                    A[i][j] = 1 / A[i][j];
                } else if (i == pivot_row) {
                    A[i][j] /= A[pivot_row][pivot_column];
                } else if (j == pivot_column) {
                    A[i][j] /= -A[pivot_row][pivot_column];
                } else {
                    A[i][j] -= A[i][pivot_column] * A[pivot_row][j] / A[pivot_row][pivot_column];
                }
            }
        }
    }
}

这个代码中，我们首先定义了线性规划问题的变量个数和约束个数。然后，我们创建了一个大小为(N_CONSTRAINTS+2) x (N_VARIABLES+N_CONSTRAINTS+2)的系数矩阵A，其中约束条件的系数和目标函数的系数被存储在A的不同行中。

接下来，我们调用名为simplex的函数，该函数使用单纯形法求解线性规划问题。在每一次循环中，该函数根据当前的系数矩阵A寻找进入变量和离基变量，并更新系数矩阵A。

最后，我们打印出最优解。最优解存储在A的最后一行中，从第N_CONSTRAINTS+1个元素开始。