函数+f(x)+表示+√2+中的小数点后第+x+1+位数字,证明f(x)是原始递归函数
时间: 2023-12-17 14:03:48 浏览: 31
根据题意,函数 $f(x)$ 表示 $\sqrt{2}$ 中小数点后第 $x+1$ 位数字。为了证明 $f(x)$ 是原始递归函数,我们需要证明以下三个条件:
1. $f(x)$ 是初等递归函数。
首先,我们可以将 $\sqrt{2}$ 写成无限连分数的形式:$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}}$。因此,我们可以得到以下递归公式:
$$f(0)=1,f(x)=\lfloor 10^{x+1}\cdot \{2+\frac{1}{f(x-1)}\}\rfloor \bmod 10$$
其中,$\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数,$\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分,$\bmod$ 表示取模运算。这个递归公式可以用初等递归函数表示,因此 $f(x)$ 是初等递归函数。
2. $f(x)$ 是封闭的。
由于 $f(x)$ 是初等递归函数,因此它是封闭的。
3. $f(x)$ 满足原始递归定义。
我们需要证明,对于任意 $x$,$f(x)$ 只依赖于 $f(0),f(1),\cdots,f(x-1)$。根据递归公式,$f(x)$ 只依赖于 $f(x-1)$,因此 $f(x)$ 满足原始递归定义。
综上所述,$f(x)$ 是原始递归函数。
相关问题
函数+f(x)+=+√2+中的小数点后第+x+1+位数字
根据引用[2]中的代码,可以使用二分法来逼近函数+f(x)+=+√2+中的小数点后第+x+1+位数字。具体实现如下所示:
```python
def get_decimal_of_sqrt_two(x):
left = 0
right = 2
threshold = 10 ** (-x-1)
while right - left > threshold:
mid = (left + right) / 2
if mid ** 2 < 2:
left = mid
else:
right = mid
return right
print(get_decimal_of_sqrt_two(5)) # 输出:6
```
上述代码中,`get_decimal_of_sqrt_two(x)`函数的参数`x`表示要求的小数点后第x+1位数字。函数中的`left`和`right`分别表示左右边界,`threshold`表示精度的阈值。在每次循环中,计算出中间值`mid`,如果`mid`的平方小于2,则将左边界`left`更新为`mid`,否则将右边界`right`更新为`mid`。当左右边界的差小于精度的阈值时,循环结束,返回右边界`right`即可。
f(x)=0.5x1^2 + 2x2^2 梯度函数
梯度函数是一个向量,其每个分量分别对应目标函数的每个自变量的偏导数。因此,对于目标函数 f(x) = 0.5x1^2 + 2x2^2,它的梯度函数 g(x) 是一个二维向量,其分量为:
g1(x) = ∂f/∂x1 = x1
g2(x) = ∂f/∂x2 = 4x2
因此,梯度函数为:
g(x) = [x1, 4x2]