完全图的最小生成树算法
时间: 2023-11-25 13:51:27 浏览: 57
完全图是指图中任意两个顶点之间都有边相连的图。完全图的最小生成树算法有两种,分别是Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法
Prim算法是一种贪心算法,它的基本思想是从一个顶点开始,每次选择一个与当前生成树相邻的权值最小的顶点加入生成树中,直到所有顶点都被加入生成树为止。
具体实现步骤如下:
- 任选一个顶点作为起点,将其加入生成树中。
- 找到与当前生成树相邻的所有顶点,并计算它们与当前生成树的距离(即边权),选择其中距离最小的顶点加入生成树中。
- 重复上述步骤,直到所有顶点都被加入生成树为止。
下面是Prim算法的Python代码实现:
```python
def prim(graph):
# 初始化生成树和已访问的顶点集合
mst = []
visited = set()
# 任选一个顶点作为起点
start = list(graph.keys())[0]
visited.add(start)
# 循环直到所有顶点都被加入生成树为止
while len(visited) < len(graph):
# 计算与当前生成树相邻的所有顶点的距离
min_edge = None
for v in visited:
for w, weight in graph[v].items():
if w not in visited and (min_edge is None or weight < min_edge[2]):
min_edge = (v, w, weight)
# 将距离最小的顶点加入生成树中
mst.append(min_edge)
visited.add(min_edge[1])
return mst
```
2. Kruskal算法
Kruskal算法也是一种贪心算法,它的基本思想是将所有边按照权值从小到大排序,然后依次加入生成树中,如果加入某条边会形成环,则不加入该边。
具体实现步骤如下:
- 将所有边按照权值从小到大排序。
- 依次加入每条边,如果加入某条边会形成环,则不加入该边。
- 重复上述步骤,直到所有顶点都被加入生成树为止。
下面是Kruskal算法的Python代码实现:
```python
def kruskal(graph):
# 初始化生成树和边集合
mst = []
edges = []
for v in graph:
for w, weight in graph[v].items():
edges.append((v, w, weight))
edges.sort(key=lambda x: x[2])
# 初始化并查集
parent = {v: v for v in graph}
# 循环直到所有顶点都被加入生成树为止
for edge in edges:
v, w, weight = edge
# 判断是否形成环
root_v = find(parent, v)
root_w = find(parent, w)
if root_v != root_w:
mst.append(edge)
parent[root_v] = root_w
return mst
def find(parent, v):
while parent[v] != v:
v = parent[v]
return v
```