求下列齐次线性方程组的一个基础解系与通解2a+3b+4c-3d-4e=0;a+2b+c-d-3e=0;3a+7b+c-2d-11e=0;;2a+4b+2c-2d-6e=0
时间: 2024-05-23 07:16:05 浏览: 10
我们可以将方程组表示为增广矩阵的形式:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 3 & 4 & -3 & -4\\1 & 2 & 1 & -1 & -3 & 0\\3 & 7 & 1 & -2 & -11 & 0\\2 & 4 & 2 & -2 & -6 & 0\end{matrix}\right]$$
然后,对该矩阵进行行变换,得到它的行简化阶梯形式:
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 & -1 & -3 & 0\\0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
我们可以发现,前两行构成一个系数矩阵 $A$ 的一个秩为 $2$ 的矩阵,而后两行都是零,因此该方程组的通解为:
$$\left\{\begin{aligned}a &= -2s - t - 3u\\b &= -s - 2t + u\\c &= s - t\\d &= 2t\\e &= u\end{aligned}\right.$$
其中 $s,t,u$ 是任意实数,这里我们可以取它们为 $1$,$0$,$0$,得到一个基础解系:
$$\{\ (-2, -1, 1, 0, 0),\ (-1, -2, 0, 1, 0),\ (-3, 0, -1, 0, 1)\ \}$$
因此,该方程组的通解为:
$$\left\{\ a\cdot(-2, -1, 1, 0, 0) + b\cdot(-1, -2, 0, 1, 0) + c\cdot(-3, 0, -1, 0, 1)\ \middle|\ a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$$