随机扩展GaussSeidel

随机扩展 Gauss-Seidel 方法是一种求解线性方程组的迭代方法，它是随机 Gauss-Seidel 方法的一种扩展形式。与随机 Gauss-Seidel 方法不同的是，随机扩展 Gauss-Seidel 方法在每次迭代时，会更新多个未知数，而不是仅更新一个未知数。

在随机扩展 Gauss-Seidel 方法中，首先将未知数分为若干个组，每次迭代时，随机选择一个组，然后使用这个组的所有未知数的当前值来更新这个组的所有未知数。这就可以加快收敛速度，特别是当矩阵比较稀疏时。

需要注意的是，随机扩展 Gauss-Seidel 方法也不一定能够保证收敛，尤其是当矩阵比较病态时。因此，通常需要进行一些收敛性分析，例如正定性、对角占优性等。

下面是随机扩展 Gauss-Seidel 方法的 MATLAB 代码示例：

function [x, flag, iter, res] = exgsrs(A, b, x0, maxiter, tol, groupsize)
% 随机扩展 Gauss-Seidel 方法求解线性方程组 Ax = b
% A: 系数矩阵
% b: 常数向量
% x0: 初始解向量
% maxiter: 最大迭代次数
% tol: 收敛精度
% groupsize: 每个组的大小
% x: 迭代得到的解向量
% flag: 收敛标志，1 表示收敛，0 表示迭代次数超过最大值
% iter: 实际迭代次数
% res: 残差向量

n = length(b);
x = x0;
flag = 0;
iter = 0;
res = norm(b - A*x);
while iter < maxiter && res > tol
    % 随机选择一个组进行更新
    groupstart = randi(n - groupsize + 1);
    groupend = groupstart + groupsize - 1;
    x(groupstart:groupend) = (b(groupstart:groupend) - A(groupstart:groupend,:)*x) ./ diag(A(groupstart:groupend,groupstart:groupend));
    res = norm(b - A*x);
    iter = iter + 1;
end
if res <= tol
    flag = 1;
end

在这个代码中，我们首先将未知数分为大小为 `groupsize` 的若干个组，然后在每次迭代时随机选择一个组，使用该组的所有未知数的当前值来更新该组的所有未知数。更新后计算新的残差向量和收敛精度来判断是否达到收敛条件。如果迭代次数达到最大值 `maxiter`，则认为未达到收敛条件，否则认为已经收敛。