计算机图形学关于三维变换与投影的计算题及其答案

以下是一个简单的计算机图形学三维变换与投影的计算题及其答案：

假设有一个三维坐标系中的点 P(2, 3, 4) ，需要进行以下变换：

1. 平移变换，向右平移 5 个单位，向上平移 2 个单位，向前平移 3 个单位。
2. 旋转变换，绕 Z 轴逆时针旋转 30°。
3. 缩放变换，沿 Y 轴缩放 0.5 倍，沿 Z 轴缩放 2 倍。
4. 投影变换，将点 P 投影到 XZ 平面上。

求变换后的点坐标。

答案：

1. 平移变换的矩阵表示为：

1 0 0 5
0 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 1

将点 P 与平移矩阵相乘得到变换后的点 P'，即：

P' = [2 3 4 1] * [1 0 0 5; 0 1 0 2; 0 0 1 3; 0 0 0 1] = [7 5 7 1]

2. 旋转变换的矩阵表示为：

cosθ -sinθ 0 0
sinθ cosθ 0 0
0      0     1 0
0      0     0 1

其中，θ = 30°，cosθ = 0.866，sinθ = 0.5。将点 P' 与旋转矩阵相乘得到变换后的点 P''，即：

P'' = [7 5 7 1] * [0.866 -0.5 0 0; 0.5 0.866 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1] = [8.232 4.232 7 1]

3. 缩放变换的矩阵表示为：

1 0    0   0
0 sy   0   0
0 0    sz  0
0 0    0   1

其中，sy = 0.5，sz = 2。将点 P'' 与缩放矩阵相乘得到变换后的点 P'''，即：

P''' = [8.232 4.232 7 1] * [1 0 0 0; 0 0.5 0 0; 0 0 2 0; 0 0 0 1] = [8.232 2.116 14 1]

4. 投影变换的矩阵表示为：

1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

将点 P''' 与投影矩阵相乘得到变换后的点 P''''，即：

P'''' = [8.232 2.116 14 1] * [1 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1] = [8.232 0 14 1]

因此，变换后的点坐标为 (8.232, 0, 14)。