在matlab中自编拉格朗日插值函数，选择不断增大的分点数 画出原函数及插值多项式在区间上的图像，比较并分析实验结果。

在 MATLAB 中编写自定义的拉格朗日插值函数，首先需要了解基本的拉格朗日插值公式。假设我们有一组数据点 \( (x_i, y_i) \)，\( i = 0, 1, ..., n-1 \)，我们可以用拉格朗日基 polynomials 来构造插值多项式：

function L = lagrangeInterpolation(xData, yData, x)
    n = length(xData);
    L = zeros(size(x));
    
    % 拉格朗日基 polynomials
    for i = 0:n-1
        L(:,i+1) = prod((x - xData(0:i)) ./ (xData(i+1) - xData(0:i)));
    end
    
    % 将拉格朗日基多项式乘以相应的y值
    L = L .* yData';
end

在这个函数中，`L` 将是一个矩阵，每一列对应一个插值多项式的值，对于输入的 `x` 值。

接下来，你可以按照以下步骤操作：

1. 生成一组数据点，比如均匀分布在某个区间 `[a, b]` 上，如 `xData = linspace(a, b, n)`，`yData = f(xData)`，其中 `f` 是你要插值的实际函数。
2. 设定初始分点数，比如 `n = 5`，然后使用 `lagrangeInterpolation` 计算插值多项式。
3. 利用 `meshgrid` 创建一个网格用于计算插值多项式的值，例如 `X, Y = meshgrid(linspace(a, b, m), linspace(a, b, m))`，其中 `m` 是网格的精细程度，`Y` 将是 `x` 轴，`X` 将是 `y` 轴。
4. 对于每一个 `X(i,j)`，计算拉格朗日插值值 `Z(i,j) = lagrangeInterpolation(xData, yData, X(i,j))`。
5. 绘制实际函数、插值多项式以及它们之间的差异图像。可以使用 `surf(X, Y, Z)` 显示插值函数，`plot(xData, yData, 'b', 'LineWidth', 2)` 画出原函数，然后对比两者。

实验结果会显示出随着分点数 `n` 的增加，插值多项式越来越接近原函数。这是因为拉格朗日插值的性质保证了它在数据点处精确匹配，而随着更多数据点的加入，插值的精度会提高。然而，对于非线性的函数，插值多项式可能会产生较大的振荡（Runge's phenomenon），特别是在间隔较大的数据点之间。