给定函数f(x) = 1/(1+ 25x²)。分别取f(x)的5次、10次、15次和20次拉格朗日插值多项式，并在同一坐标系下绘制出四者的图像。使用Matlab的subplot()函数。

拉格朗日插值是一种通过已知数据点构造函数近似的方法。对于给定的函数 \( f(x) = \frac{1}{1 + 25x^2} \)，我们首先需要选取一些数据点，然后基于这些点计算对应的拉格朗日插值多项式。

假设我们选择的四个数据点分别是 \( (x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), ..., (x_n, f(x_n)) \)，其中\( n = 5, 10, 15, 20 \)，我们需要做的是：

1. 对于每个次数（5, 10, 15, 20），找到相应的插值多项式 \( L_i(x) \)，公式为：
\[ L_i(x) = \sum_{j=1}^{n} f(x_j) \cdot L_j(x; x_1, x_2, ..., x_n) \]
其中 \( L_j(x; x_1, x_2, ..., x_n) \) 是第 \( j \) 个节点处的拉格朗日基多项式。

2. 计算插值多项式的值 \( L_i(x_k) \)，这将得到一系列新的点用于拟合曲线。

3. 使用Matlab中的`polyval`函数来计算多项式在各个范围内的值。

4. 利用`plot`函数绘制每个多项式，以及原函数 \( f(x) \) 作为参考线。

5. 最后，使用`subplot`函数创建一个网格，每行代表一次拉格朗日插值，展示不同次数下的逼近程度。

示例代码可能会像这样（在实际运行前需要填充适当的数据点）：

% 数据点（这里为了简单起见只给出几个，你需要根据需求生成更多）
x_data = [0:0.1:1]; % 选择等间距的数据点
y_data = polyval(1 ./ (1 + 25 .* x_data.^2), x_data); % 函数值

% 拉格朗日插值次数
degrees = [5, 10, 15, 20];

% subplot初始化
figure;
for i = 1:length(degrees)
    % 计算拉格朗日插值多项式
    L_poly = lagrange_interpolation(x_data, y_data, degrees(i));
    
    % 插值曲线
    interp_y = polyval(L_poly, linspace(min(x_data), max(x_data), 100)); % 更细的采样点
    
    % 原函数线
    ref_line = polyval(1 ./ (1 + 25 * linspace(min(x_data), max(x_data), 100).^2), linspace(min(x_data), max(x_data), 100));
    
    % 绘制并标记插值次数
    plot(linspace(min(x_data), max(x_data), 100), interp_y, 'LineWidth', 1.5);
    hold on;
    plot(x_data, y_data, 'o', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'k');
    title(sprintf('Lagrange Interpolation (Degree %d)', degrees(i)));
    
    % 添加网格
    subplot(2, 2, i);
    grid on;
    
    % 清除当前轴的多余信息
    axis tight;
    xlabel('x');
    ylabel('f(x)');
    legend('Interpolated Curve', 'Data Points');
end
hold off;

请注意，上述代码片段中的`lagrange_interpolation`函数需要你自己实现，它会根据给定的数据点和拉格朗日基多项式公式来计算插值多项式。