递推式Tn=Tn-1+logn的阶和Tn=4Tn/2的渐近界
时间: 2024-04-11 22:31:01 浏览: 148
对于递推式Tn = Tn-1 + log(n),我们可以展开计算前几项来找到阶和的形式。
T1 = T0 + log(1)
T2 = T1 + log(2) = (T0 + log(1)) + log(2) = T0 + log(1) + log(2)
T3 = T2 + log(3) = (T0 + log(1) + log(2)) + log(3) = T0 + log(1) + log(2) + log(3)
...
可以观察到,阶和的一般形式为:
Tn = T0 + log(1) + log(2) + log(3) + ... + log(n-1) + log(n)
我们可以将 log(i) 相加转换成乘积的形式:
Tn = T0 + log(1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n)
进一步转换为阶乘的形式:
Tn = T0 + log(n!)
接下来,我们考虑递推式Tn = 4Tn/2,我们可以展开计算前几项来找到渐近界。
T1 = 4T0/2 = 2T0
T2 = 4T1/2 = 4(2T0)/2 = 4T0
T3 = 4T2/2 = 4(4T0)/2 = 8T0
T4 = 4T3/2 = 4(8T0)/2 = 16T0
...
可以观察到,Tn 的值随着 n 的增加以指数级增长,即 Tn = 2^n * T0。
因此,递推式Tn = 4Tn/2 的渐近界为 O(2^n)。
相关问题
递推式f(1)=0,f(n)=n-1+f(n-1)的解是___。
递推式 \( f(1) = 0 \),\( f(n) = n - 1 + f(n - 1) \) 描述的是一个线性递归关系,但与斐波那契数列不同。这是一个简单的等差数列,因为每个项都是当前项减去一再加上前一项。要找到这个序列的通项公式,我们可以注意到它是从常数开始的,每一项都是前两项之和减一。
对于这个问题,给定初始条件 \( f(1) = 0 \) 和一般形式 \( f(n) = n - 1 + f(n - 1) \),我们可以看出这是一个简单的累加过程。对于 \( n \geq 2 \),每一项都是它前面一项 \( f(n - 1) \) 加上一个固定的增量 \( n - 1) \)。这意味着 \( g(n) \) 是一个常数序列,即 \( g(n) = g(1) \) 对于所有 \( n \) 成立。由于 \( g(1) = f(1) - 0 = 0 \),所以 \( g(n) = 0 \) 对所有 \( n \) 成立。
因此,原始序列 \( f(n) \) 可以表示为 \( f(n) = n - 1 + g(n) = n - 1 \)。
简单来说,该序列就是 \( n - 1 \) 的形式,其第 \( n \) 项就是 \( n - 1 \)。在Java代码中,你可以按照递推的方式实现这个序列:
```java
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int n = scanner.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
System.out.println(i - 1);
}
}
// 假设存在一个scanner对象用于输入
private static Scanner scanner;
}
```
已知数列递推式为a1=1,a2i=ai+1
这个数列的递推式是a1=1,an=an-1 + 1。根据这个递推式,我们可以得到数列的前几项为:a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,...。
这个数列的规律很明显,每一项都比前一项大1。所以,数列中每一项的值都是前一项的后继者,也就是它前面所有项的数值总和。因此,我们可以得到数列的通项公式为an=n。
通过递推式分析,我们可以得出数列的通项公式为an=n,其中n表示数列的第n项。也就是说,数列中的每一项都等于它的下标值。根据这个公式,我们可以很方便地求出数列的任意一项的值。
例如,要求数列的第10项的值,根据通项公式an=n,我们可以得到a10=10。同样地,如果要求数列的第100项的值,根据通项公式可以得到a100=100。
总结起来,这个数列的递推式为a1=1,an=an-1 + 1,通项公式为an=n。根据通项公式,我们可以轻松求出数列的任意一项的值。
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