qr分解出了Q和R两个矩阵,然后怎么求特征值

要求解一个矩阵的特征值，可以使用QR分解的结果。假设我们要求解矩阵A的特征值，我们可以先对A进行QR分解，得到矩阵Q和R，即A=QR。然后将R矩阵上的对角线元素取出来，即为A的特征值。

具体的求解过程如下：

1. 对矩阵A进行QR分解，得到Q和R矩阵。

2. 根据QR分解的结果，我们有A=QR，两边同时乘以Q的逆矩阵Q^-1，得到Q^-1AQ=R。

3. 由于Q是一个正交矩阵，Q^-1=Q的转置矩阵，所以我们可以得到A=QR=Q(Q^-1AQ) = Q(RQ^T)。

4. 这样，我们就得到了一个和A相似的矩阵RQ^T。

5. R矩阵的对角线元素即为A的特征值。

需要注意的是，QR分解可能会存在精度问题，因此在实际应用中，需要使用一些特殊的技巧来避免精度误差的影响。

相关问题

请用隐式QR算法编制一个求实矩阵全部特征值和特征向量的程序

好的，以下是使用隐式QR算法求实矩阵全部特征值和特征向量的Python程序：

import numpy as np

def qr_algorithm(A, eps=1e-10, max_iter=1000):
    """
    使用隐式QR算法求实矩阵全部特征值和特征向量
    :param A: 需要求特征值和特征向量的实矩阵
    :param eps: 精度
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :return: 特征值和特征向量
    """
    n = A.shape[0]
    Q = np.eye(n)
    iter_count = 0
    while iter_count < max_iter:
        # 计算QR分解
        Q_, R = np.linalg.qr(A.dot(Q))
        # 更新Q
        Q = Q.dot(Q_)
        # 计算下一轮迭代的矩阵
        A = R.dot(Q)
        # 判断是否收敛
        off_diag = np.abs(A - np.diag(np.diag(A)))
        if np.max(off_diag) < eps:
            break
        iter_count += 1
    # 计算特征值和特征向量
    eigenvalues = np.diag(A)
    eigenvectors = Q
    for i in range(n):
        for j in range(max_iter):
            if np.abs(A[i, i] - eigenvalues[i]) < eps:
                break
            Q_, R = np.linalg.qr((A - eigenvalues[i] * np.eye(n)).dot(Q))
            Q = Q.dot(Q_)
            A = R.dot(Q) + eigenvalues[i] * Q
        eigenvectors[:, i] = Q[:, i]
    return eigenvalues, eigenvectors

函数接受一个需要求特征值和特征向量的实矩阵，以及精度和最大迭代次数两个可选参数。它返回一个元组，包含特征值和特征向量。

使用隐式QR算法求解实矩阵的特征值和特征向量的步骤是：

1. 初始化Q为单位矩阵，令A等于输入矩阵；
2. 对A进行QR分解，得到Q和R；
3. 更新Q为Q的乘积和Q_的乘积，其中Q_是上一步QR分解得到的Q的转置；
4. 计算下一轮迭代的矩阵A为R和Q的乘积；
5. 如果A的非对角线元素的绝对值都小于指定的精度，则认为计算已经收敛，退出迭代；
6. 否则，继续迭代，直到达到最大迭代次数为止；
7. 计算特征值和特征向量。对于每个特征值，使用QR分解找到其对应的特征向量。

这里使用numpy中的linalg.qr函数来进行QR分解。注意，在计算特征值和特征向量时，需要对每个特征值进行迭代，直到它收敛。如果在指定的最大迭代次数内没有收敛，则认为该特征值无法计算，程序将会跳过该特征值。

请用隐式QR算法编制一个求实矩阵全部特征值和特征向量的matlab程序

好的，以下是使用隐式QR算法求实矩阵全部特征值和特征向量的Matlab程序：

function [eigenvalues, eigenvectors] = qr_algorithm(A, eps, max_iter)
% 使用隐式QR算法求实矩阵全部特征值和特征向量
% A: 需要求特征值和特征向量的实矩阵
% eps: 精度
% max_iter: 最大迭代次数
% eigenvalues: 特征值
% eigenvectors: 特征向量

n = size(A, 1);
Q = eye(n);
iter_count = 0;
while iter_count < max_iter
    % 计算QR分解
    [Q_, R] = qr(A * Q);
    % 更新Q
    Q = Q * Q_;
    % 计算下一轮迭代的矩阵
    A = R * Q;
    % 判断是否收敛
    off_diag = abs(A - diag(diag(A)));
    if max(off_diag(:)) < eps
        break;
    end
    iter_count = iter_count + 1;
end

% 计算特征值和特征向量
eigenvalues = diag(A);
eigenvectors = Q;
for i = 1:n
    for j = 1:max_iter
        if abs(A(i, i) - eigenvalues(i)) < eps
            break;
        end
        [Q_, R] = qr((A - eigenvalues(i) * eye(n)) * Q);
        Q = Q * Q_;
        A = R * Q + eigenvalues(i) * Q;
    end
    eigenvectors(:, i) = Q(:, i);
end

这段Matlab代码与Python版的实现类似，只是语法上有些许差异。同样地，函数接受一个需要求特征值和特征向量的实矩阵，以及精度和最大迭代次数两个可选参数。它返回一个元组，包含特征值和特征向量。

使用隐式QR算法求解实矩阵的特征值和特征向量的步骤与前面Python版的实现相同，这里不再赘述。在Matlab中，使用qr函数进行QR分解，同时需要注意使用diag函数获取矩阵的对角线元素，并使用eye函数创建单位矩阵。

需要注意的是，Matlab中的索引从1开始，而不是从0开始。因此，在两个for循环中，需要将索引从1开始。