非精确线搜索BFGS方法Armijo算法确定步长的算法描述

非精确线搜索BFGS方法Armijo算法用于确定每次迭代中的步长，其算法描述如下：

1.初始化：选择初始点$x_0$，设精度要求$\epsilon$，设置步长初始值$t=1$，以及其他必要参数。

2.计算梯度：计算梯度$g_k$，并判断是否满足停机准则，若满足则停止迭代。

3.确定下降方向：通过BFGS公式计算BFGS近似Hessian矩阵$B_k$，然后求解下降方向$d_k=-B_kg_k$。

4.确定步长：按照Armijo准则进行一维搜索，即选择最小的$t$，使得下列不等式成立：

$f(x_k+td_k) \leq f(x_k) + c_1 t \nabla f_k^T d_k$

其中，$c_1$为常数，通常取值为$10^{-4}$。

5.更新迭代点：进行迭代点的更新：

$x_{k+1} = x_k+td_k$

6.更新近似Hessian矩阵：根据BFGS公式更新近似Hessian矩阵$B_k$：

$B_{k+1} = B_k + \frac{y_k y_k^T}{y_k^T s_k} - \frac{B_k s_k s_k^T B_k}{s_k^T B_k s_k}$

其中，$y_k=g_{k+1}-g_k$，$s_k=x_{k+1}-x_k$。

7.判断停机准则：如果$\left\|g_k\right\|<\epsilon$，则停止迭代，输出$x_k$作为最优解；否则，返回第2步进行下一次迭代。

以上就是非精确线搜索BFGS方法Armijo算法的算法描述。其中，BFGS方法是一种拟牛顿法，其利用近似Hessian矩阵来替代真实Hessian矩阵，从而大大减少了计算量。在实际应用中，可以根据具体问题调整算法中的参数和细节，以达到更好的效果。