动态规划求解最长递增子序列
时间: 2023-11-13 08:04:11 浏览: 93
动态规划求解最长递增子序列的步骤如下:
1. 定义状态:设dp[i]为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度。
2. 初始化状态:dp[i]的初始值为1,因为每个元素本身就是一个长度为1的递增子序列。
3. 状态转移方程:对于每个i,从1到i-1遍历j,如果nums[j] < nums[i],则dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)。
4. 最终结果:遍历dp数组,找到最大值max_len,以及对应的下标max_index,然后从max_index开始倒序遍历dp数组,找到所有满足dp[i] = max_len的i,这些i组成的序列就是最长递增子序列。
相关问题
用动态规划算法求解最长递增子序列python完整代码
好的,下面是用动态规划算法求解最长递增子序列的Python完整代码:
```python
def longest_increasing_subsequence(nums):
n = len(nums)
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
# 测试
nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
print(longest_increasing_subsequence(nums)) # 输出:4
```
其中,`nums`是要求解的序列,`n`是序列的长度,`dp`是一个长度为`n`的列表,`dp[i]`表示以`nums[i]`结尾的最长递增子序列的长度。初始化时,`dp`的所有元素都为1,因为每个元素本身都是一个长度为1的递增子序列。
然后,我们用两个嵌套的循环来遍历所有的元素对`(i, j)`,其中`i`表示当前元素的下标,`j`表示之前的某个元素的下标。如果`nums[j] < nums[i]`,则说明`nums[i]`可以接在以`nums[j]`结尾的递增子序列后面,从而形成一个更长的递增子序列。因此,我们更新`dp[i]`的值为`max(dp[i], dp[j] + 1)`。
最后,返回`dp`中的最大值即可。
动态规划实现最长递增子序列的复杂度分析
动态规划实现最长递增子序列的时间复杂度为O(n^2)或O(nlogn),具体取决于所使用的算法。
1. O(n^2)算法:
动态规划的基本思想是将原问题分解为若干个子问题,先求解子问题,再逐步合并子问题的解来解决原问题。最长递增子序列问题可以使用动态规划求解,具体步骤如下:
(1)定义状态:dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长递增子序列长度。
(2)状态转移方程:dp[i] = max(dp[j])+1,其中j<i且nums[j]<nums[i]。
(3)最终结果:max(dp[i]),其中0<=i<n。
时间复杂度为O(n^2)。
2. O(nlogn)算法:
该算法使用二分查找来优化时间复杂度,具体步骤如下:
(1)定义状态:tails[i]表示长度为i+1的所有递增子序列的结尾元素的最小值。
(2)状态转移方程:对于每个元素nums[i],如果它大于tails中的所有元素,则将其添加到tails末尾;则,在tails中找到第一个大于等于nums[i]的元素,将其替换为nums[i]。
(3)最终结果:tails的长度即为最长递增子序列的长度。
时间复杂度为O(nlogn)。