最长单调递增子序列问题的动态规划算法实现
时间: 2023-11-11 13:12:08 浏览: 63
最长单调递增子序列问题可以用动态规划算法来解决。下面是其实现:
```python
def longest_increasing_subsequence(arr):
n = len(arr)
# dp[i]表示以arr[i]结尾的最长单调递增子序列的长度
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if arr[i] > arr[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
```
其中,`arr`是待求解的序列,`dp[i]`表示以`arr[i]`结尾的最长单调递增子序列的长度。算法遍历每个元素,对于每个元素,再遍历其前面的所有元素,如果当前元素比前面的元素大,那么就可以将当前元素加入到以前面的元素结尾的子序列中,从而得到以当前元素结尾的子序列。最终,算法返回所有以任意元素结尾的子序列中最长的长度。
相关问题
最长单调递增子序列问题的动态规划算法时间复杂度
最长单调递增子序列问题的动态规划算法时间复杂度为$O(n^2)$。具体来说,算法的主要步骤包括:
1. 初始化一个长度为n的数组dp,其中dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度。
2. 遍历数组中的每个元素i,对于每个元素i,内部再遍历该元素前面的所有元素j(0<=j<i),如果j比i小且a[j]<a[i],则更新dp[i]的值为dp[j]+1。
3. 遍历完整个数组后,dp数组中的最大值即为最长递增子序列的长度。
在这个算法中,每个元素需要遍历其前面的所有元素,时间复杂度为$O(n^2)$。
最长单调递增子序列问题和数字三角形问题的动态规划算法实现和效率分析
最长单调递增子序列问题的动态规划算法实现:
1. 定义状态:dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长单调递增子序列的长度。
2. 初始化:dp[i]初始值为1,因为任意一个元素本身就是一个长度为1的单调递增子序列。
3. 状态转移方程:对于每个元素i,枚举其之前的元素j(j<i),如果nums[j] < nums[i],则dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)。
4. 最终结果:遍历dp数组,找到最大值。
代码实现:
```
def longestIncreasingSubsequence(nums):
n = len(nums)
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
return max(dp)
```
数字三角形问题的动态规划算法实现:
1. 定义状态:dp[i][j]表示从顶部走到(i,j)位置的最小路径和。
2. 初始化:dp[0][0] = triangle[0][0],其他dp[i][j]的初始值为正无穷。
3. 状态转移方程:对于每个位置(i,j),有两个状态可以转移过来,即(i-1,j)和(i-1,j-1),因此dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j]。
4. 最终结果:遍历dp数组的最后一行,找到最小值。
代码实现:
```
def minimumTotal(triangle):
n = len(triangle)
dp = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
dp[0][0] = triangle[0][0]
for i in range(1, n):
for j in range(i+1):
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j]
return min(dp[-1])
```
效率分析:
最长单调递增子序列问题的时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n)。
数字三角形问题的时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n^2)。