用matlab求以下系统的冲激响应与阶跃响应，y"(t)+4y'(t)+4(t)=f'(t)+f(t)

好的，这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以使用 Laplace 变换求解它的冲激响应和阶跃响应。

首先对方程两边进行 Laplace 变换，得到：

$$ Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 4} [F(s) + s y(0) + y'(0)] $$

其中 $y(0), y'(0)$ 分别是系统的初始条件，$F(s)$ 是输入信号的 Laplace 变换。根据初始条件和输入信号，可以求出 $y(0), y'(0), F(s)$。下面分别求解冲激响应和阶跃响应。

1. 冲激响应

当输入信号为冲激函数 $f(t) = \delta(t)$ 时，$F(s) = 1$，代入上式，得到：

$$ H(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 4} $$

这里 $H(s)$ 是系统的传递函数。根据部分分式分解，可以将 $H(s)$ 表示为：

$$ H(s) = \frac{1}{(s+2)^2} $$

根据查表公式，可以求得冲激响应为：

$$ h(t) = e^{-2t} t $$

所以系统的冲激响应为 $h(t) = e^{-2t} t$。

2. 阶跃响应

当输入信号为阶跃函数 $f(t) = u(t)$ 时，$F(s) = \frac{1}{s}$，代入上式，得到：

$$ H(s) = \frac{1}{s(s+2)^2} $$

同样根据部分分式分解，可以将 $H(s)$ 表示为：

$$ H(s) = \frac{1}{2s} - \frac{1}{s+2} + \frac{1}{(s+2)^2} $$

根据查表公式，可以求得阶跃响应为：

$$ y(t) = \frac{1}{2} t e^{-2t} + (1-t) u(t) $$

所以系统的阶跃响应为 $y(t) = \frac{1}{2} t e^{-2t} + (1-t) u(t)$。