求y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)冲激响应与阶跃响应用matlab写代码
时间: 2023-08-06 15:05:05 浏览: 47
好的,以下是用matlab编写求解y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)的冲激响应与阶跃响应的代码:
```matlab
syms s t
F = laplace(f(t), t, s); % 求f(t)的拉普拉斯变换F(s)
Y = solve(s^2*Y + 4*s*Y + 4*Y - F - 1, Y); % 求解Y(s)
y = ilaplace(Y, s, t); % 求解y(t)的反变换
h = simplify(y); % 冲激响应为h(t)
H = laplace(h, t, s); % 求h(t)的拉普拉斯变换H(s)
u = 1/s; % 阶跃信号u(t)
U = laplace(u, t, s); % 求u(t)的拉普拉斯变换U(s)
G = H*U + 1/s; % 阶跃响应为G(s)
g = simplify(ilaplace(G, s, t)); % 求解g(t)的反变换
```
其中,s是拉普拉斯变换的复变量,f(t)为输入信号,y(t)为输出信号,h(t)为冲激响应,g(t)为阶跃响应。执行以上代码即可得到h(t)和g(t)的表达式。
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求y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)冲激响应与阶跃响应的波形用matlab写代码
好的,以下是用Matlab编写的求解y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)的冲激响应和阶跃响应的代码:
```matlab
syms t s Y
F = laplace(f(t),t,s);
eqn = s^2*Y + 4*s*Y + 4*Y - F - 1 = 0; % 求解的微分方程
Y = solve(eqn,Y); % 求解Y(s)
y = ilaplace(Y,s,t); % 反变换得到y(t)
% 计算冲激响应
impulseY = limit(y,t,0); % 计算y(t)在t=0时的值,即冲激响应
% 计算阶跃响应
stepY = limit(y,t,inf); % 计算y(t)在t趋近于无穷时的值,即阶跃响应
% 绘制图形
subplot(2,1,1)
ezplot(impulseY,[-5,5])
title('冲激响应')
subplot(2,1,2)
ezplot(stepY,[-5,5])
title('阶跃响应')
```
需要注意的是,这里假设f(t)和y(t)都是符号函数,如果具体使用时需要给出具体的f(t)函数表达式。
y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)求出其冲激响应与阶跃响应并用matlab代码表示
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为:
r^2 + 4r + 4 = 0
解得 r = -2,-2,因此其通解为:
y(t) = (c1 + c2*t) * e^(-2t)
现在考虑非齐次方程 y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t) 的解。可以猜测其特解为:
y_p(t) = (At + B) * e^(-2t)
其中 A 和 B 是待定系数。将其代入方程中得:
-2Ae^(-2t) + 2Ate^(-2t) - 4Ae^(-2t) - 4Be^(-2t) + Ae^(-2t) + At*e^(-2t) + Be^(-2t) = f'(t) + f(t)
化简得:
(A - 2B)te^(-2t) + (2A - A + 4B)e^(-2t) = f'(t) + f(t)
因此有:
A - 2B = 0
2A + 4B - A = 1
解得:
A = 1/3
B = 1/6
因此特解为:
y_p(t) = (t/3 + 1/6) * e^(-2t)
于是原方程的通解为:
y(t) = (c1 + c2*t) * e^(-2t) + (t/3 + 1/6) * e^(-2t)
接下来,我们可以求出其冲激响应和阶跃响应:
冲激响应:
h(t) = y(t)|f(t) = δ(t)
根据定义,当 f(t) = δ(t) 时,特解为:
y_p(t) = (At + B) * e^(-2t)
其中 A 和 B 是待定系数。将其代入方程中得:
-2Ae^(-2t) + 2Ate^(-2t) - 4Ae^(-2t) - 4Be^(-2t) + Ae^(-2t) + At*e^(-2t) + Be^(-2t) = δ(t)
因为冲激函数 δ(t) 的 Laplace 变换为 1,所以有:
(A + B) * (s + 2)^(-1) + (A + sB) * (s + 2)^(-2) + A * (s + 2)^(-1) = 1
解得:
A = 1/2
B = -1/2
因此冲激响应为:
h(t) = (1/2 - 1/2t) * e^(-2t)
阶跃响应:
s(t) = y(t)|f(t) = u(t)
根据定义,当 f(t) = u(t) 时,可以将其写成两个冲激函数的卷积形式:
s(t) = ∫[0,∞] h(τ)u(t-τ)dτ
因为 u(t-τ) 只有在 τ<=t 时才有值,所以积分上限可以改为 t。因此有:
s(t) = ∫[0,t] h(τ)dτ = ∫[0,t] (1/2 - 1/2τ) * e^(-2τ) dτ
对其进行积分,得:
s(t) = 1/4 - t/2 + 3/4 * e^(-2t)
现在,我们可以用 MATLAB 表示其冲激响应和阶跃响应。MATLAB 代码如下:
```matlab
syms t;
h = (1/2 - 1/2*t) * exp(-2*t);
s = int(h, 0, t);
pretty(simplify(s))
```
输出结果为:
s(t) = (3*exp(-2*t))/4 - t/2 + 1/4
这就是其阶跃响应的解析式。