取初值x=0，用牛顿法求方程e^x+10*x-2=0的近似根，要求误差不超过10^-8

要使用牛顿迭代法（Newton-Raphson method）来求解非线性方程 \( e^x + 10x - 2 = 0 \)，我们需要首先定义一个函数 `f(x)` 表示该方程，然后设置初始猜测 `x`（通常是零），并重复迭代直到满足误差条件。牛顿法公式为：

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

其中 \( f'(x) \) 是函数 \( f(x) \) 的导数。

下面是逐步步骤：

1. 定义函数 `f(x)` 和它的导数 `dfdx(x)`。
2. 设置初始猜测 `x0` 为0。
3. 创建一个循环，每次迭代更新 `x` 直到达到指定误差 `tolerance`（这里是 \(10^{-8}\)）或达到预设的最大迭代次数。
4. 计算下一个近似值 `xn+1`。
5. 检查新的近似值与上一次的差是否小于 `tolerance`，如果是，则返回结果；否则继续迭代。

现在，让我们编写这个算法：

% 函数 f(x)
function y = my_function(x)
    y = exp(x) + 10 * x - 2;
end

% 导数 df/dx
function dy_dx = derivative(x)
    dy_dx = exp(x) + 10;
end

% 初始猜测
x0 = 0;

% 最小误差容忍度
tolerance = 1e-8;
max_iterations = 100; % 预设最大迭代次数

% 牛顿迭代开始
for iteration = 1:max_iterations
    % 计算当前点的导数值
    dx = derivative(x0);
    
    % 如果导数接近于零，这可能导致除以零错误，所以加入一个小的安全系数
    if abs(dx) < 1e-6
        dx = dx + 1e-6;
    end
    
    % 更新 x
    x0 = x0 - (my_function(x0)) / dx;
    
    % 检查误差
    error = abs(my_function(x0));
    
    if error <= tolerance
        break; % 达到误差阈值，停止迭代
    end
end

% 输出最终结果
if isfinite(x0) && ~isnan(x0)
    fprintf('Approximate root with error less than %.8f: x = %.8f\n', tolerance, x0);
else
    fprintf('Failed to converge within the specified tolerance.\n');
end