欧拉函数积性性质的证明

欧拉函数φ(n)，也称为欧拉 totient 函数，其积性性质是指对于任意两个正整数m和n，它们的欧拉函数值满足 φ(mn) = φ(m) * φ(n) / gcd(m, n)。这个性质的证明基于几个关键步骤：

1. **分解定理**：每个正整数都可以唯一地表示为质数的乘积，即 \( m = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} \)，其中\( p_i \)是不同的素数，\( a_i \geq 0 \)。

2. **基本性质**：如果p是m的因数，则\( p^{\alpha+1} | φ(m) \)（因为p不是m的完全幂），而对于其他非p的因子，\( φ(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\alpha-1} \)。这意味着对于m的每一个因数，除了它本身外，它的每个倍数都会减少φ值的一个因数。

3. **递归应用**：考虑mn的因数分解，由于gcd(m, n)会分解成各个质因数的最小指数的乘积，我们可以将m和n各自分解，并注意到对每一个公共的质因数，φ值都会相乘然后除以其在m和n中的最小指数次方，这是基于前面的基本性质。

4. **组合**：最后，将所有非公共的因数以及公共因数的φ值相乘，就得到了φ(mn)的计算结果，这正是φ(m)和φ(n)相乘再除以gcd(m, n)的结果。

这个证明利用了数论中的基本概念和技巧，展示了欧拉函数如何反映出数的整体结构特性。