如何用Python编写代码来实现欧几里得算法以及其扩展算法，包括计算两个整数的最大公约数（GCD）？此外，能否提供一个函数来找到给定数在一定范围内的模逆元？请确保代码示例清晰易懂。

欧几里得算法（Euclidean Algorithm），也称为辗转相除法，是一种用于求解两个正整数最大公约数的有效算法。在Python中，我们可以这样实现：

def gcd(a, b):
    """
    计算两个整数的最大公约数（GCD）
    :param a: 第一个整数
    :param b: 第二个整数
    :return: a和b的最大公约数
    """
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

# 示例
print(gcd(48, 18))  # 输出：6

为了扩展到寻找两个数的最小公倍数（LCM），可以利用公式 `LCM(a, b) = abs(a * b) / GCD(a, b)`。以下是计算LCM的函数：

def lcm(a, b):
    """
    计算两个整数的最小公倍数（LCM）
    :param a: 第一个整数
    :param b: 第二个整数
    :return: a和b的最小公倍数
    """
    return abs(a * b) // gcd(a, b)

# 示例
print(lcm(48, 18))  # 输出：144

接下来，我们来实现一个函数找给定数在一定范围内的模逆元。首先，需要引入`math`模块里的`gcd`函数：

import math

def mod_inverse(x, m):
    """
    找到x在模m下的逆元
    :param x: 需求逆元的数
    :param m: 模数
    :return: 如果存在，则返回x的逆元，否则返回None
    """
    # 根据欧几里得算法计算gcd
    g = math.gcd(x, m)
    
    # 如果x和m互质，那么x的逆元存在
    if g == 1:
        return pow(x, m - 2, m)
    else:
        return None

# 示例
inverse = mod_inverse(7, 11)
if inverse is not None:
    print(f"7在模11下的逆元是 {inverse}")
else:
    print("7和11不是互质的，因此7在11下没有逆元")