小结：图的广度遍历用；普里姆算法思想求解最小生成树；编程实现用普里姆算法求最小生成树可能会遇到的问题

小结：

- 图的广度优先遍历可用于搜索图中是否存在一条路径连接两个节点，或者找出从一个节点出发到其他所有节点的最短路径。
- 普里姆算法是一种用于求解最小生成树的贪心算法，其基本思想是从一个初始节点开始，逐步扩展生成树，每次选择与生成树相连的边中权值最小的边，直到生成树覆盖了所有节点。
- 编程实现用普里姆算法求最小生成树时，需要注意以下问题：

- 应该使用优先队列来维护当前与生成树相连的边中权值最小的边，以便快速找到下一个要加入生成树的节点。
- 应该使用一个 bool 类型的数组来记录每个节点是否已经加入了生成树，以避免重复加入节点。
- 对于无向图，每条边应该被考虑两次，因为它连接了两个节点。

相关问题

c语言用普里姆算法实现图的最小生成树

普里姆算法是一种基于贪心思想的图论算法，用于求解一个带权无向图的最小生成树。

以下是用C语言实现普里姆算法求解图的最小生成树的基本步骤：

1. 定义一个结构体来表示边，包含边的起点、终点和边权值。

struct Edge {
    int v, w; // 终点和边权值
};

2. 定义一个小根堆，存储当前已经加入最小生成树中的节点的所有出边。

typedef struct {
    int v, w; // 节点编号和边权值
} HeapNode;

HeapNode heap[MAXN]; // 小根堆数组，用于存储当前已经加入最小生成树中的节点的所有出边
int size = 0; // 小根堆的大小

void push(int v, int w) { // 向小根堆中加入一个节点的出边
    heap[size].v = v;
    heap[size].w = w;
    size++;
    int i = size - 1;
    while (i > 0) {
        int p = (i - 1) / 2;
        if (heap[p].w > heap[i].w) {
            HeapNode t = heap[p];
            heap[p] = heap[i];
            heap[i] = t;
            i = p;
        } else {
            break;
        }
    }
}

HeapNode pop() { // 从小根堆中弹出权值最小的边
    HeapNode res = heap[0];
    heap[0] = heap[size - 1];
    size--;
    int i = 0;
    while (i * 2 + 1 < size) {
        int l = i * 2 + 1;
        int r = i * 2 + 2;
        int j = l;
        if (r < size && heap[l].w > heap[r].w) {
            j = r;
        }
        if (heap[i].w > heap[j].w) {
            HeapNode t = heap[i];
            heap[i] = heap[j];
            heap[j] = t;
            i = j;
        } else {
            break;
        }
    }
    return res;
}

3. 定义一个数组dist，用于存储每个节点距离最小生成树的距离。

int dist[MAXN]; // dist[i]表示节点i距离最小生成树的距离

4. 定义一个函数，用于求解最小生成树。

void prim(int n, int m, Edge edges[][MAXN], int s) { // n为节点数，m为边数，edges为邻接矩阵，s为起点
    int ans = 0; // 最小生成树的权值和
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist)); // 初始化dist数组为无穷大
    dist[s] = 0; // 起点到自己的距离为0
    push(s, 0); // 将起点加入小根堆中
    while (size > 0) { // 当小根堆不为空时
        HeapNode node = pop(); // 弹出权值最小的边
        int v = node.v, w = node.w;
        if (dist[v] < w) { // 如果当前节点已经加入最小生成树中，则跳过
            continue;
        }
        ans += w; // 计算最小生成树的权值和
        dist[v] = 0; // 将当前节点加入最小生成树中
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举当前节点的所有出边
            if (edges[v][i].w < INF && dist[i] > edges[v][i].w) { // 如果当前节点到i的距离比已知的距离更小，则将i加入小根堆中
                dist[i] = edges[v][i].w;
                push(i, dist[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans); // 输出最小生成树的权值和
}

完整代码如下：

用C++用普里姆算法求最小生成树。

好的，下面是用C++实现普里姆算法求最小生成树的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

#define MAXN 1000           // 最大点数
#define INF 0x3f3f3f3f      // 无穷大

struct Edge {
    int to, weight;
    Edge(int t, int w) : to(t), weight(w) {}
};

vector<Edge> G[MAXN];       // 存储图
int dis[MAXN];              // 存储点到集合S的距离
bool vis[MAXN];             // 存储点是否在集合S中

void prim(int start) {
    // 初始化
    for (int i = 0; i < MAXN; i++) {
        dis[i] = INF;
        vis[i] = false;
    }
    dis[start] = 0;

    // 使用优先队列存储点到集合S的距离
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;
    q.push(make_pair(dis[start], start));

    // 普里姆算法主体部分
    while (!q.empty()) {
        int u = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[u]) continue;   // 如果点u已经在集合S中，则跳过
        vis[u] = true;          // 将u加入集合S

        // 更新与u相邻的点的距离
        for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
            Edge e = G[u][i];
            int v = e.to, w = e.weight;
            if (!vis[v] && dis[v] > w) {
                dis[v] = w;
                q.push(make_pair(dis[v], v));
            }
        }
    }
}

int main() {
    // 读入图的边
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        G[u].push_back(Edge(v, w));
        G[v].push_back(Edge(u, w));
    }

    // 求最小生成树
    prim(1);

    // 输出最小生成树的权值和
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (dis[i] != INF) ans += dis[i];
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

其中，我们将图存储在邻接表 `G` 中，使用优先队列存储点到集合S的距离，使用数组 `dis` 存储点到集合S的距离，使用数组 `vis` 存储点是否在集合S中。算法的主体部分是一个循环，每次取出优先队列中距离最小的点，将其加入集合S，并更新与该点相邻的点的距离。这个循环将持续到所有点都加入集合S。最后，我们将数组 `dis` 中小于 `INF` 的值相加，得到最小生成树的权值和。

需要注意的是，普里姆算法的时间复杂度为 $O(m\log n)$，其中 $n$ 是点数，$m$ 是边数。